Considere o PVI
Determinar os pontos em que a solução possui um máximo local.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para encontrarmos os pontos onde a solução tem um máximo local. A matéria envolvida aqui são as Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a equação diferencial dada e depois analisar onde a derivada da solução é zero para identificar os pontos de máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação de primeira ordem que pode ser resolvida usando substituição. Vamos tentar simplificar a equação para encontrar uma solução.

Passo 3

Vamos usar a substituição . Com isso, podemos expressar como . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial original:
Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Vamos resolver a integral à esquerda. Para isso, podemos dividir o numerador pelo denominador:
Podemos completar o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição e reconhecendo a forma da integral padrão arctan.

Passo 8

Após resolver as integrais, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos de volta:
Podemos simplificar e resolver para , mas para encontrar os pontos de máximo local, precisamos analisar onde a derivada é zero.

Passo 10

Para encontrar os pontos onde a solução tem um máximo local, sabemos que a derivada deve ser zero. Ou seja:
Isso implica que o numerador deve ser zero:

Passo 11

Agora, substituímos na condição inicial :
O que é uma contradição. Isso significa que não há pontos onde a solução possui um máximo local que satisfaça a condição inicial dada.

Resposta

Não existem pontos em que a solução do PVI fornecido possui um máximo local.

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