Considere o PVI
Determinar os pontos em que a solução possui um máximo local.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para encontrarmos os pontos onde a solução tem um máximo local. A matéria envolvida aqui são as Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a equação diferencial dada e depois analisar onde a derivada da solução é zero para identificar os pontos de máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação de primeira ordem que pode ser resolvida usando substituição. Vamos tentar simplificar a equação para encontrar uma solução.
Passo 3
Vamos usar a substituição
. Com isso, podemos expressar
como
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Vamos resolver a integral à esquerda. Para isso, podemos dividir o numerador pelo denominador:
Podemos completar o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituição e reconhecendo a forma da integral padrão arctan.
Passo 8
Após resolver as integrais, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
de volta:
Podemos simplificar e resolver para
, mas para encontrar os pontos de máximo local, precisamos analisar onde a derivada é zero.
Passo 10
Para encontrar os pontos onde a solução tem um máximo local, sabemos que a derivada
deve ser zero. Ou seja:
Isso implica que o numerador deve ser zero:
Passo 11
Agora, substituímos
na condição inicial
:
O que é uma contradição. Isso significa que não há pontos onde a solução possui um máximo local que satisfaça a condição inicial dada.
Resposta
Não existem pontos em que a solução do PVI fornecido possui um máximo local.
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Calcule.
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