Considere o PVI
Encontre a solução do PVI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem uma equação diferencial:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente Problemas de Valor Inicial (PVI). Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição de variável para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se podemos escrever o lado direito como uma função de
. Observando a nossa equação:
Tanto o numerador
quanto o denominador
são funções homogêneas de grau 1 (todos os termos têm uma potência total de 1). Isso indica que podemos usar a substituição
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação original, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Simplificando:
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação. Começando pelo lado esquerdo:
Observamos que o numerador
é igual a
, que é a derivada do denominador
:
Agora, integrando o lado direito:
Igualando as duas integrais:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante.
Voltando à variável original
(lembrando que
):
Multiplicando tudo por
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
e
:
Portanto, a equação particular que satisfaz a condição inicial é:
Podemos também expressar
explicitamente em termos de
:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é positivo, escolhemos o sinal mais positivo:
Resposta
A solução do PVI é:
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Considere o PVI
Determinar os pontos em que a solução possui um máximo local.