Encontre as soluções de y' = 3xy + x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial . Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar um método que envolve encontrar um fator integrante que nos ajude a integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é . No nosso caso:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que nos vai ajudar a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo P(x):

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante que encontramos:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . Assim:

Passo 6

Agora, igualamos os dois lados da equação:
Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

As soluções da equação diferencial são dadas por:

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