Encontre as soluções de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial
. Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar um método que envolve encontrar um fator integrante que nos ajude a integrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é
. No nosso caso:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que nos vai ajudar a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante que encontramos:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 6
Agora, igualamos os dois lados da equação:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
As soluções da equação diferencial são dadas por:
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Determinar os pontos em que a solução possui um máximo local.
Calcule.