Prove que se uma função f é analítica em todo o plano finito, exceto por uma quantidade finita de singularidades no interior de um caminho fechado simples C orientado positivamente, então:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo! Temos uma função que é analítica em todo o plano complexo, exceto por algumas singularidades dentro de um caminho fechado simples que é orientado positivamente. O objetivo é provar que a integral de ao longo de é igual a vezes o resíduo de em .
Vamos precisar entender conceitos como funções analíticas, singularidades, contornos fechados, e o Teorema dos Resíduos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema dos Resíduos. Esse teorema nos diz que se temos uma função que é analítica dentro e sobre um contorno fechado, exceto por um número finito de pontos onde a função tem singularidades (pontos onde ela não é definida ou não é analítica), então a integral dessa função ao redor do contorno é igual a vezes a soma dos resíduos da função nesses pontos de singularidade.
Matematicamente:
onde são as singularidades dentro de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que precisamos provar:
Queremos relacionar a integral de sobre com o resíduo de uma outra função transformada em .

Passo 4

Para fazer isso, vamos usar a substituição inversa. Isso significa que vamos fazer uma mudança de variável onde . Com essa substituição, quando circula o contorno no sentido positivo, também circula um novo contorno no sentido positivo ao redor de .
Vamos reescrever a integral usando essa substituição.

Passo 5

Calculando a diferencial em termos de :

Passo 6

Substituindo e na integral original:

Passo 7

Note que o contorno está orientado positivamente em torno de . Agora, aplicando o Teorema dos Resíduos a essa nova integral:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Mas como fizemos a substituição , podemos renomear de volta para (já que é apenas uma variável de integração). Então temos:

Resposta

Provamos que:

Exercícios relacionados

Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
<html><head></head><body><div>Considere o PVI</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.17ex;” xmlns=“
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150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(523,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2032” d=“M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(5813.7,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 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<div>Encontre o comportamento da solução quando <span class="math-inline ">
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“0.971ex” height=“1.595ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -694 429 705”><title>t -> +infinito</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44F” d=“M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> (não esqueça de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.186ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.119ex” height=“1.756ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -694 2262.6 776”><title>b</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44F” d=“M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(706.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1762.6,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ).</div>
</body></html>
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