Um objeto aquecido a 90°C é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a 0 graus C durantc todo o processo. Uma hora após o início do experimento, a temperatura do objeto era de 10 graus C.
Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante t.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve a resfriamento de um objeto. Basicamente, quando um objeto quente é colocado em um ambiente mais frio, como um freezer, sua temperatura diminui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. Precisaremos entender essa lei e aplicar algumas fórmulas matemáticas para encontrar a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em termos de fórmula, isso é escrito como:
Aqui, é a temperatura do objeto no tempo , é a temperatura constante do ambiente (no caso, o freezer), e é uma constante positiva que depende das características do objeto e do ambiente.

Passo 3

Vamos integrar essa equação diferencial para encontrar a função . A solução geral da equação é:
Onde:
  • é a temperatura inicial do objeto.
  • é a base do logaritmo natural.
  • é a constante que precisamos determinar.

Passo 4

No nosso exercício:
  • A temperatura inicial do objeto, , é .
  • A temperatura do ambiente, , é .
  • Após 1 hora ( ), a temperatura do objeto é .
Vamos usar esses valores para encontrar a constante .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 90:

Passo 6

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Agora que encontramos , podemos substituir de volta na equação geral para encontrar :
Simplificando:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais a expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Então, a função fica:

Resposta

A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes inequações modulares:
(g) 3|x-1| + |2x-7| < -|x-1|
Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Cite dois métodos que permitem encontrar a solução geral da EDO.
Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
(a) (x-y) dx + x dy = 0
(k) 2 x^2 y dx = (3 x^3 + y^3) dy
(b) (x+y) dx + x dy = 0
(l) (x^4 + y^4) dx - 2 x^3 y dy = 0
© x dx + (y - 2x) dy
(m) d y/d x = y/x + x/y
(d) y dx = 2(x+y) dy
(n) d y/d x = y/x + x^2/y^2 + 1
(e) (y^2 + y*x) dx - x^2 dy = 0
(o) y d x/d y = x + 4 y e^(-2 x / y)
(g) d y/d x = (y - x) / (y + x)
§ (x^2 e^(-y/x) + y^2) dx = xy dy
(h) d y/d x = (y + 3 x) / (3 x + y)
(q) d/y dx = y/x ln(y/x)
(i) -y dx + (x raiz(x y)) dy = 0
® (x^2 + x*y - y^2) dx - x*y dy = 0
Um objeto aquecido a 90°C é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a 0 graus C durantc todo o processo. Uma hora após o início do experimento, a temperatura do objeto era de 10 graus C.
Determine o instante em que a temperatura do objeto foi de 30 graus C.