Um objeto aquecido a 90°C é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a 0 graus C durantc todo o processo. Uma hora após o início do experimento, a temperatura do objeto era de 10 graus C.
Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante t.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve a resfriamento de um objeto. Basicamente, quando um objeto quente é colocado em um ambiente mais frio, como um freezer, sua temperatura diminui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. Precisaremos entender essa lei e aplicar algumas fórmulas matemáticas para encontrar a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em termos de fórmula, isso é escrito como:
Aqui, é a temperatura do objeto no tempo , é a temperatura constante do ambiente (no caso, o freezer), e é uma constante positiva que depende das características do objeto e do ambiente.

Passo 3

Vamos integrar essa equação diferencial para encontrar a função . A solução geral da equação é:
Onde:
  • é a temperatura inicial do objeto.
  • é a base do logaritmo natural.
  • é a constante que precisamos determinar.

Passo 4

No nosso exercício:
  • A temperatura inicial do objeto, , é .
  • A temperatura do ambiente, , é .
  • Após 1 hora ( ), a temperatura do objeto é .
Vamos usar esses valores para encontrar a constante .

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 90:

Passo 6

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Agora que encontramos , podemos substituir de volta na equação geral para encontrar :
Simplificando:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais a expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Então, a função fica:

Resposta

A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante é:

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