Um objeto aquecido a
é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a
durantc todo o processo. Uma hora após o início do experimento, a temperatura do objeto era de
.
Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
.
Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que envolve a resfriamento de um objeto. Basicamente, quando um objeto quente é colocado em um ambiente mais frio, como um freezer, sua temperatura diminui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a modelar como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. Precisaremos entender essa lei e aplicar algumas fórmulas matemáticas para encontrar a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em termos de fórmula, isso é escrito como:
Aqui,
é a temperatura do objeto no tempo
,
é a temperatura constante do ambiente (no caso, o freezer), e
é uma constante positiva que depende das características do objeto e do ambiente.
Passo 3
Vamos integrar essa equação diferencial para encontrar a função
. A solução geral da equação é:
Onde:
-
é a temperatura inicial do objeto. -
é a base do logaritmo natural. -
é a constante que precisamos determinar.
Passo 4
No nosso exercício:
- A temperatura inicial do objeto,
, é . - A temperatura do ambiente,
, é . - Após 1 hora (
), a temperatura do objeto é .
Vamos usar esses valores para encontrar a constante
.
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 90:
Passo 6
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabendo que
, temos:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos substituir de volta na equação geral para encontrar
:
Simplificando:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais a expressão usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Então, a função fica:
Resposta
A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes inequações modulares:
(g)
(g)
Considere o PVI
Cite dois métodos que permitem encontrar a solução geral da EDO.
Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
(a)
(k)
(b)
(l)
©
(m)
(d)
(n)
(e)
(o)
(g)
§
(h)
(q)
(i)
®
(a)
(k)
(b)
(l)
©
(m)
(d)
(n)
(e)
(o)
(g)
§
(h)
(q)
(i)
®
Um objeto aquecido a
é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a
durantc todo o processo. Uma hora após o início do experimento, a temperatura do objeto era de
.
Determine o instante em que a temperatura do objeto foi de .
Determine o instante em que a temperatura do objeto foi de