Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
É possível tirar conclusões sobre esse problema a partir do Teorema de Existência e Unicidade? Se sim, quais? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) definido por:
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para ver se conseguimos dizer algo sobre as soluções desse problema. Esse teorema nos ajuda a saber se existe uma única solução que passa por um ponto inicial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Existência e Unicidade. Basicamente, ele nos diz que se a função que define a derivada de (no caso, ) e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em um torno do ponto inicial , então existe uma solução única para o PVI nesse entorno.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade de . A função será contínua onde o denominador não for zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Vamos ver onde o denominador se cancela:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Observamos que no ponto inicial dado , o denominador se anula, já que substituindo :
Isso significa que não está definida no ponto inicial, já que temos uma divisão por zero ali.

Passo 6

Além disso, para aplicar o teorema, precisaríamos que tanto quanto sua derivada parcial em relação a fossem contínuas próximo do ponto inicial. Mas como já vimos, não é contínua no próprio ponto inicial devido ao denominador zero.

Passo 7

Como as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são atendidas no ponto inicial, não podemos garantir, a partir desse teorema, que existe uma solução única passando por .

Resposta

Não, não é possível aplicar o Teorema de Existência e Unicidade a esse PVI porque a função não é contínua no ponto inicial . Portanto, o teorema não garante a existência ou a unicidade de uma solução para esse problema.

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