Considere o PVI
É possível tirar conclusões sobre esse problema a partir do Teorema de Existência e Unicidade? Se sim, quais? Justifique.
Passo 1
Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) definido por:
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para ver se conseguimos dizer algo sobre as soluções desse problema. Esse teorema nos ajuda a saber se existe uma única solução que passa por um ponto inicial dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Existência e Unicidade. Basicamente, ele nos diz que se a função que define a derivada de
(no caso,
) e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas em um torno do ponto inicial
, então existe uma solução única para o PVI nesse entorno.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade de
. A função
será contínua onde o denominador
não for zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 4
Vamos ver onde o denominador se cancela:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Observamos que no ponto inicial dado
, o denominador
se anula, já que substituindo
:
Isso significa que
não está definida no ponto inicial, já que temos uma divisão por zero ali.
Passo 6
Além disso, para aplicar o teorema, precisaríamos que tanto
quanto sua derivada parcial em relação a
fossem contínuas próximo do ponto inicial. Mas como já vimos,
não é contínua no próprio ponto inicial devido ao denominador zero.
Passo 7
Como as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são atendidas no ponto inicial, não podemos garantir, a partir desse teorema, que existe uma solução única passando por
.
Resposta
Não, não é possível aplicar o Teorema de Existência e Unicidade a esse PVI porque a função
não é contínua no ponto inicial
. Portanto, o teorema não garante a existência ou a unicidade de uma solução para esse problema.
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é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a
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.
Determine o instante em que a temperatura do objeto foi de .
Determine o instante em que a temperatura do objeto foi de
Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
(a)
(k)
(b)
(l)
©
(m)
(d)
(n)
(e)
(o)
(g)
§
(h)
(q)
(i)
®
(a)
(k)
(b)
(l)
©
(m)
(d)
(n)
(e)
(o)
(g)
§
(h)
(q)
(i)
®
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