Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
É possível tirar conclusões sobre esse problema a partir do Teorema de Existência e Unicidade? Se sim, quais? Justifique.

Passo 1

Então, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) definido por:
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade para ver se conseguimos dizer algo sobre as soluções desse problema. Esse teorema nos ajuda a saber se existe uma única solução que passa por um ponto inicial dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Existência e Unicidade. Basicamente, ele nos diz que se a função que define a derivada de (no caso, ) e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em um torno do ponto inicial , então existe uma solução única para o PVI nesse entorno.

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade de . A função será contínua onde o denominador não for zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Vamos ver onde o denominador se cancela:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Observamos que no ponto inicial dado , o denominador se anula, já que substituindo :
Isso significa que não está definida no ponto inicial, já que temos uma divisão por zero ali.

Passo 6

Além disso, para aplicar o teorema, precisaríamos que tanto quanto sua derivada parcial em relação a fossem contínuas próximo do ponto inicial. Mas como já vimos, não é contínua no próprio ponto inicial devido ao denominador zero.

Passo 7

Como as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são atendidas no ponto inicial, não podemos garantir, a partir desse teorema, que existe uma solução única passando por .

Resposta

Não, não é possível aplicar o Teorema de Existência e Unicidade a esse PVI porque a função não é contínua no ponto inicial . Portanto, o teorema não garante a existência ou a unicidade de uma solução para esse problema.

Exercícios relacionados

Um objeto aquecido a 90°C é colocado em um freezer por 24 h . A temperatura do freczer foi mantida a 0 graus C durantc todo o processo. Uma hora após o início do experimento, a temperatura do objeto era de 10 graus C.
Determine o instante em que a temperatura do objeto foi de 30 graus C.
Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
(a) (x-y) dx + x dy = 0
(k) 2 x^2 y dx = (3 x^3 + y^3) dy
(b) (x+y) dx + x dy = 0
(l) (x^4 + y^4) dx - 2 x^3 y dy = 0
© x dx + (y - 2x) dy
(m) d y/d x = y/x + x/y
(d) y dx = 2(x+y) dy
(n) d y/d x = y/x + x^2/y^2 + 1
(e) (y^2 + y*x) dx - x^2 dy = 0
(o) y d x/d y = x + 4 y e^(-2 x / y)
(g) d y/d x = (y - x) / (y + x)
§ (x^2 e^(-y/x) + y^2) dx = xy dy
(h) d y/d x = (y + 3 x) / (3 x + y)
(q) d/y dx = y/x ln(y/x)
(i) -y dx + (x raiz(x y)) dy = 0
® (x^2 + x*y - y^2) dx - x*y dy = 0
Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Encontre uma solução para o PVI dado.
Encontre a solução geral da EDO
y' = (x^2 + y^2) / (x * y)