Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Encontre uma solução para o PVI dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que você enviou. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial, mais especificamente uma equação de primeira ordem. Pra resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação que temos é:
Isso significa que a derivada de em relação a é igual a . Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por e por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar integrando o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral em relação a :
Agora, a integral em relação a :

Passo 5

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração ( ):

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial que nos foi dada: . Vamos substituir e na equação para encontrar o valor de :

Resposta

A solução do PVI é dada pela equação implícita:

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