Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
(a) (x-y) dx + x dy = 0
(k) 2 x^2 y dx = (3 x^3 + y^3) dy
(b) (x+y) dx + x dy = 0
(l) (x^4 + y^4) dx - 2 x^3 y dy = 0
© x dx + (y - 2x) dy
(m) d y/d x = y/x + x/y
(d) y dx = 2(x+y) dy
(n) d y/d x = y/x + x^2/y^2 + 1
(e) (y^2 + y*x) dx - x^2 dy = 0
(o) y d x/d y = x + 4 y e^(-2 x / y)
(g) d y/d x = (y - x) / (y + x)
§ (x^2 e^(-y/x) + y^2) dx = xy dy
(h) d y/d x = (y + 3 x) / (3 x + y)
(q) d/y dx = y/x ln(y/x)
(i) -y dx + (x raiz(x y)) dy = 0
® (x^2 + x*y - y^2) dx - x*y dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada que simplifique a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação de uma possível substituição. Vamos dividir tudo por :

Passo 3

Agora, vamos isolar :

Passo 4

Observando a equação , podemos notar que ela é linear e pode ser escrita na forma padrão:
Comparando, temos:

Passo 5

Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 6

Multiplicamos a equação diferencial original pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 8

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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É possível tirar conclusões sobre esse problema a partir do Teorema de Existência e Unicidade? Se sim, quais? Justifique.