Considere o PVI
Mostre que
e
são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você enviou. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
O objetivo é mostrar que as funções
e
são soluções desse PVI. Além disso, precisamos verificar se isso contraria o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir as soluções na equação diferencial e conhecer um pouco sobre o Teorema de Existência e Unicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução. Para isso, substituímos
e
na equação diferencial.
Sabemos que se
, então
.
Substituindo na equação:
Isso é verdadeiro para todo
. Além disso, verificamos a condição inicial:
Então,
satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
também é uma solução. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituímos
e
na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Então:
Isso também é verdadeiro para todo
. Além disso, verificamos a condição inicial:
Portanto,
também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz, basicamente, que se certas condições forem satisfeitas (como a função ser contínua e ter derivadas contínuas em torno do ponto inicial), então existe uma única solução para o PVI.
No nosso caso, temos duas soluções que satisfazem o mesmo PVI:
Isso parece contradizer o teorema, que afirma que a solução deve ser única.
Passo 5
A razão dessa aparente contradição está nas condições do Teorema de Existência e Unicidade. O teorema geralmente requer que a função
e sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas perto do ponto inicial. Vamos verificar:
Nossa função é
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Perceba que quando
, a derivada parcial
não está definida porque teríamos uma divisão por zero. Isso significa que as condições do teorema não são completamente atendidas nesse ponto, permitindo a existência de múltiplas soluções.
Resposta
As funções
e
são ambas soluções do PVI dado. Isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições necessárias para a unicidade não estão totalmente satisfeitas no ponto inicial
.