Considere o PVI
Mostre que e são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você enviou. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) dado por:
O objetivo é mostrar que as funções e são soluções desse PVI. Além disso, precisamos verificar se isso contraria o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir as soluções na equação diferencial e conhecer um pouco sobre o Teorema de Existência e Unicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução. Para isso, substituímos e na equação diferencial.
Sabemos que se , então .
Substituindo na equação:
Isso é verdadeiro para todo . Além disso, verificamos a condição inicial:
Então, satisfaz tanto a equação diferencial quanto a condição inicial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução. Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituímos e na equação diferencial:
Simplificando o lado direito:
Então:
Isso também é verdadeiro para todo . Além disso, verificamos a condição inicial:
Portanto, também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz, basicamente, que se certas condições forem satisfeitas (como a função ser contínua e ter derivadas contínuas em torno do ponto inicial), então existe uma única solução para o PVI.
No nosso caso, temos duas soluções que satisfazem o mesmo PVI:
Isso parece contradizer o teorema, que afirma que a solução deve ser única.

Passo 5

A razão dessa aparente contradição está nas condições do Teorema de Existência e Unicidade. O teorema geralmente requer que a função e sua derivada parcial em relação a sejam contínuas perto do ponto inicial. Vamos verificar:
Nossa função é . A derivada parcial de em relação a é:
Perceba que quando , a derivada parcial não está definida porque teríamos uma divisão por zero. Isso significa que as condições do teorema não são completamente atendidas nesse ponto, permitindo a existência de múltiplas soluções.

Resposta

As funções e são ambas soluções do PVI dado. Isso não contraria o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições necessárias para a unicidade não estão totalmente satisfeitas no ponto inicial .

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