Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(e) Verifique se apresenta ponto de máximo ou mínimo e calcule as coordenadas do ponto extremo de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de funções quadráticas! A pergunta nos dá uma função do segundo grau, , com duas raízes conhecidas, e . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função tem um ponto de máximo ou mínimo e encontrar as coordenadas desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática da forma tem duas raízes, que são os valores de onde . Sabendo as raízes, podemos reescrever a função usando a forma fatorada:
Substituindo as raízes que nos foram dadas:

Passo 3

Agora, para descobrir o valor de , usamos a informação . Vamos substituir na equação:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o valor de encontrado, podemos escrever a função completa:

Passo 5

Para determinar se a função tem um ponto de máximo ou mínimo, olhamos o coeficiente de , que é . Se , a parábola abre para cima e tem um ponto de mínimo. Se , abre para baixo e tem um ponto de máximo. Como , a função tem um ponto de mínimo.

Passo 6

O ponto extremo (mínimo) está localizado no vértice da parábola. A coordenada do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
Na nossa função, e :

Passo 7

Agora, para encontrar a coordenada do vértice, substituímos na função:

Resposta

A função apresenta um ponto de mínimo no vértice com coordenadas .

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Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(d)
Considere o PVI
Mostre que e são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?