Seja f: R -> R a função quadrática dada por f(x) = a x^2 + b x + c, onde a != 0. Sabendo-se que x1 = -1 e x2 = 5 são as raízes de f, e que f(1) = -8, faça os itens abaixo:
(e) Verifique se f apresenta ponto de máximo ou mínimo e calcule as coordenadas do ponto extremo de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de funções quadráticas! A pergunta nos dá uma função do segundo grau, , com duas raízes conhecidas, e . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função tem um ponto de máximo ou mínimo e encontrar as coordenadas desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática da forma tem duas raízes, que são os valores de onde . Sabendo as raízes, podemos reescrever a função usando a forma fatorada:
Substituindo as raízes que nos foram dadas:

Passo 3

Agora, para descobrir o valor de , usamos a informação . Vamos substituir na equação:
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o valor de encontrado, podemos escrever a função completa:

Passo 5

Para determinar se a função tem um ponto de máximo ou mínimo, olhamos o coeficiente de , que é . Se , a parábola abre para cima e tem um ponto de mínimo. Se , abre para baixo e tem um ponto de máximo. Como , a função tem um ponto de mínimo.

Passo 6

O ponto extremo (mínimo) está localizado no vértice da parábola. A coordenada do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
Na nossa função, e :

Passo 7

Agora, para encontrar a coordenada do vértice, substituímos na função:

Resposta

A função apresenta um ponto de mínimo no vértice com coordenadas .

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