Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(e) Verifique se
apresenta ponto de máximo ou mínimo e calcule as coordenadas do ponto extremo de
.
(e) Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de funções quadráticas! A pergunta nos dá uma função do segundo grau,
, com duas raízes conhecidas,
e
. Além disso, sabemos que
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função tem um ponto de máximo ou mínimo e encontrar as coordenadas desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática da forma
tem duas raízes, que são os valores de
onde
. Sabendo as raízes, podemos reescrever a função usando a forma fatorada:
Substituindo as raízes que nos foram dadas:
Passo 3
Agora, para descobrir o valor de
, usamos a informação
. Vamos substituir
na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a função completa:
Passo 5
Para determinar se a função tem um ponto de máximo ou mínimo, olhamos o coeficiente de
, que é
. Se
, a parábola abre para cima e tem um ponto de mínimo. Se
, abre para baixo e tem um ponto de máximo. Como
, a função tem um ponto de mínimo.
Passo 6
O ponto extremo (mínimo) está localizado no vértice da parábola. A coordenada
do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
Na nossa função,
e
:
Passo 7
Agora, para encontrar a coordenada
do vértice, substituímos
na função:
Resposta
A função
apresenta um ponto de mínimo no vértice com coordenadas
.
Exercícios relacionados
Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(b)
(b)
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(d)
(d)
Considere o PVI
Mostre que
e
são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?