Teste a série quanto a convergência ou divergência
(b) sumn=1^infty (2+1)^nn^2 n

Passo 1

Beleza! A gente tem que testar se a série converge ou diverge. Vamos trabalhar com séries infinitas, especificamente usando o Teste da Raiz, que ajuda a determinar a convergência analisando o limite da enésima raiz dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teste da Raiz: para uma série , calculamos .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, raiz[n]|an| = raiz[n]3^nn^2n . Vamos calcular:
raiz[n]3^nraiz[n]n^2n = 3n^2
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 3n^2 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Como , de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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