Seja a função quadrática dada por , onde . Sabendo-se que e são as raízes de , e que , faça os itens abaixo:
(g) A função vista como função
é uma bijeção. Calcule a expressão de sua inversa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática com raízes em e , e sabemos que . Nosso objetivo aqui é calcular a expressão da inversa dessa função, .
Vamos precisar lembrar de algumas coisas básicas sobre funções quadráticas:
  • As raízes da função são os valores de que fazem .
  • A forma fatorada da função usando as raízes é .
  • A inversa de uma função envolve trocar e e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os coeficientes , e da nossa função quadrática. Sabemos que as raízes são e , então podemos escrever a função na forma fatorada:
Agora, vamos usar o ponto para encontrar o valor de . Substituindo na equação:
Com , a função fica:
Então, temos , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inversa dessa função. Mas antes de tudo, como a função quadrática não é bijetora em todo o seu domínio, precisamos restringir o domínio para que ela seja uma bijeção (ou seja, uma correspondência um-para-um e sobre). A restrição dada é .
O termo representa o vértice da parábola. Vamos calcular:
Então, o domínio restrito é .

Passo 4

Para encontrar a inversa , começamos substituindo :
Queremos expressar em função de . Vamos resolver essa equação quadrática para .
Primeiro, reescrevemos a equação:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Como restringimos o domínio para , escolhemos apenas a solução positiva:

Resposta

A função inversa é dada por:

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