Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(g) A função
vista como função
é uma bijeção. Calcule a expressão de sua inversa
.
(g) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática
com raízes em
e
, e sabemos que
. Nosso objetivo aqui é calcular a expressão da inversa dessa função,
.
Vamos precisar lembrar de algumas coisas básicas sobre funções quadráticas:
- As raízes da função são os valores de
que fazem . - A forma fatorada da função usando as raízes é
. - A inversa de uma função envolve trocar
e e resolver para .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os coeficientes
,
e
da nossa função quadrática. Sabemos que as raízes são
e
, então podemos escrever a função na forma fatorada:
Agora, vamos usar o ponto
para encontrar o valor de
. Substituindo
na equação:
Com
, a função fica:
Então, temos
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inversa dessa função. Mas antes de tudo, como a função quadrática não é bijetora em todo o seu domínio, precisamos restringir o domínio para que ela seja uma bijeção (ou seja, uma correspondência um-para-um e sobre). A restrição dada é
.
O termo
representa o vértice da parábola. Vamos calcular:
Então, o domínio restrito é
.
Passo 4
Para encontrar a inversa
, começamos substituindo
:
Queremos expressar
em função de
. Vamos resolver essa equação quadrática para
.
Primeiro, reescrevemos a equação:
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Como restringimos o domínio para
, escolhemos apenas a solução positiva:
Resposta
A função inversa
é dada por:
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Considere o PVI
Mostre que
e
são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(d)
(d)
Teste a série quanto a convergência ou divergência
(b)
(b)
Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
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