Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para testarmos se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste das Séries Alternadas. Se a série não atender às condições desse teste, a gente tenta o Teste da Divergência. Vamos precisar entender o que são séries alternadas e como aplicar esses testes para verificar a convergência ou divergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, têm sinais positivos e negativos intercalados. No nosso caso,
faz os termos alternarem de sinal.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a nossa série para identificar claramente a parte alternada e a parte que diminui:
onde
.
Passo 4
O Teste das Séries Alternadas diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
-
é uma sequência decrescente: para todo a partir de certo ponto. - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar essas duas condições para a nossa série.
Passo 5
Primeiro, vamos verificar se
é uma sequência decrescente. Sabemos que, para
,
diminui quando
aumenta, e a função seno é crescente no intervalo
. Portanto, quando
aumenta,
também diminui, satisfazendo a primeira condição.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
quando
, e
para
próximo de zero. Portanto:
Isso satisfaz a segunda condição do Teste das Séries Alternadas.
Passo 7
Como ambas as condições do Teste das Séries Alternadas são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste das Séries Alternadas.
Exercícios relacionados
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(e) Verifique se apresenta ponto de máximo ou mínimo e calcule as coordenadas do ponto extremo de
.
(e) Verifique se
Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Considere o PVI
Mostre que
e
são soluções. Será que isso contradiz o Teorema de Existência e Unicidade?
Seja
a função quadrática dada por
, onde
. Sabendo-se que
e
são as raízes de
, e que
, faça os itens abaixo:
(g) A função vista como função
(g) A função
é uma bijeção. Calcule a expressão de sua inversa
.