Teste a série quanto a convergência ou divergência usando o teste das séries alternadas. Caso a série não satisfaça as condições do teste das séries alternadas, tente o teste da divergência.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para testarmos se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste das Séries Alternadas. Se a série não atender às condições desse teste, a gente tenta o Teste da Divergência. Vamos precisar entender o que são séries alternadas e como aplicar esses testes para verificar a convergência ou divergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, têm sinais positivos e negativos intercalados. No nosso caso, faz os termos alternarem de sinal.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a nossa série para identificar claramente a parte alternada e a parte que diminui:
onde .

Passo 4

O Teste das Séries Alternadas diz que uma série da forma converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. é uma sequência decrescente: para todo a partir de certo ponto.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero: .
Vamos verificar essas duas condições para a nossa série.

Passo 5

Primeiro, vamos verificar se é uma sequência decrescente. Sabemos que, para , diminui quando aumenta, e a função seno é crescente no intervalo . Portanto, quando aumenta, também diminui, satisfazendo a primeira condição.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Sabemos que quando , e para próximo de zero. Portanto:
Isso satisfaz a segunda condição do Teste das Séries Alternadas.

Passo 7

Como ambas as condições do Teste das Séries Alternadas são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste das Séries Alternadas.

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