Considere o PVI : Faça o gráfico da solução do PVI para .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) representado pela equação diferencial , com as condições iniciais e . Nosso objetivo é resolver essa equação e desenhar o gráfico da solução para o intervalo de tempo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes específicas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação.
A equação característica é dada por:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Então, as raízes são reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar :
Agora, substituindo :

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações formado pelas condições iniciais:
Podemos simplificar a equação (2):
Sabemos pela equação (1) que , então substituindo:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em (1):

Resposta

A solução do PVI é:
Para , o gráfico dessa função mostrará uma combinação de duas exponenciais decrescentes, já que os coeficientes nos expoentes são negativos. Isso significa que a solução irá decair ao longo do tempo, aproximando-se de zero conforme aumenta.

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Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem: .