Considere o PVI
: Faça o gráfico da solução do PVI para
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) representado pela equação diferencial
, com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é resolver essa equação e desenhar o gráfico da solução para o intervalo de tempo
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes específicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação.
A equação característica é dada por:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Então, as raízes são reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar
:
Agora, substituindo
:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações formado pelas condições iniciais:
Podemos simplificar a equação (2):
Sabemos pela equação (1) que
, então substituindo:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo em (1):
Resposta
A solução do PVI é:
Para
, o gráfico dessa função mostrará uma combinação de duas exponenciais decrescentes, já que os coeficientes nos expoentes são negativos. Isso significa que a solução irá decair ao longo do tempo, aproximando-se de zero conforme
aumenta.
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Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem:
.