Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando :

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem: . Isso significa que a segunda derivada de menos quatro vezes é igual a zero. Além disso, temos condições iniciais: e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de soluções de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos :
Em seguida, calculamos a derivada de :
Aplicando a condição :
Sabendo que , substituímos:
Logo, .

Passo 5

Substituindo e na solução geral, temos:
Podemos também expressar isso em termos de funções hiperbólicas, mas já temos a solução explícita.

Passo 6

Por fim, vamos analisar o comportamento de quando :
Isso significa que, conforme o tempo aumenta indefinidamente, a solução cresce sem limites.

Resposta

A solução do PVI é e, quando tende ao infinito, cresce para .

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Considere o PVI : Faça o gráfico da solução do PVI para .
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando :
Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem: .