Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem:
. Isso significa que a segunda derivada de
menos quatro vezes
é igual a zero. Além disso, temos condições iniciais:
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de soluções de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo
na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, usamos
:
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Sabendo que
, substituímos:
Logo,
.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Podemos também expressar isso em termos de funções hiperbólicas, mas já temos a solução explícita.
Passo 6
Por fim, vamos analisar o comportamento de
quando
:
Isso significa que, conforme o tempo aumenta indefinidamente, a solução
cresce sem limites.
Resposta
A solução do PVI é
e, quando
tende ao infinito,
cresce para
.
Exercícios relacionados
Considere o PVI
: Faça o gráfico da solução do PVI para
.
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem:
.