Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é
com as condições iniciais
e
. Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especialmente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1 na equação original. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Passo 4
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas e podemos escrevê-las na forma
. Calculando:
Então, as raízes são
.
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, vamos derivar
para usar a segunda condição inicial
:
Simplificando e avaliando em
:
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, a solução completa é:
Passo 9
Por fim, vamos analisar o que acontece quando
. Note que a função exponencial
cresce sem limites à medida que
aumenta. Portanto, mesmo que os termos trigonométricos sejam limitados, o produto cresce indefinidamente.
Resposta
A solução do PVI é:
Quando
,
tende a
devido ao termo exponencial crescente.
Exercícios relacionados
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Considere o PVI
: Resolva o problema de valor inicial.
Considere o PVI
: Faça o gráfico da solução do PVI para
.
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
: