Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é com as condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especialmente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , por e por 1 na equação original. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 4

Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas e podemos escrevê-las na forma . Calculando:
Então, as raízes são .

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 7

Em seguida, vamos derivar para usar a segunda condição inicial :
Simplificando e avaliando em :

Passo 8

Com os valores de e encontrados, a solução completa é:

Passo 9

Por fim, vamos analisar o que acontece quando . Note que a função exponencial cresce sem limites à medida que aumenta. Portanto, mesmo que os termos trigonométricos sejam limitados, o produto cresce indefinidamente.

Resposta

A solução do PVI é:
Quando , tende a devido ao termo exponencial crescente.

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Considere o PVI : Resolva o problema de valor inicial.
Considere o PVI : Faça o gráfico da solução do PVI para .
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