Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty n^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Razão para descobrir se a série sumn=1^+infty n^nn! converge ou diverge. Isso envolve noções de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não, analisando o limite do quociente entre termos consecutivos. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se:
  • : a série converge absolutamente.
  • : a série diverge.
  • : o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, an+1 = (n+1)^n+1(n+1)! . Precisamos encontrar , que será:

Passo 4

Vamos calcular o quociente an+1an = (n+1)^n+1(n+1)! n^nn! = (n+1)^n+1 cdot n!n^n cdot (n+1)! :
an+1an = (n+1)^n+1n^n cdot (n+1) = ( (n+1)^nn^n ) = ( 1 + 1n )^n
Simplificando, sabemos que , então:

Passo 5

Agora, calculamos o limite desse quociente quando L = limn to infty ( 1 + 1n )^n tende ao infinito:
Esse limite é conhecido e é igual a , onde .

Passo 6

Substituindo o valor de L = e approx 2,71828 > 1 no Teste da Razão:

Resposta

Como sumn=1^+infty n^nn!, pelo Teste da Razão, a série diverge.

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