Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando t -> infinito: 6 y'' - 5 y' + y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 3

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear Homogênea de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores das raízes:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Segundo, encontramos :
Aplicando :

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar . Substituindo na segunda equação:
Substituindo na equação :

Resposta

A solução do PVI é:
Quando , ambas as exponenciais crescem sem limite, mas como os coeficientes são positivos, tende a .

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