Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear Homogênea de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas (
), a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Segundo, encontramos
:
Aplicando
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar
. Substituindo na segunda equação:
Substituindo
na equação
:
Resposta
A solução do PVI é:
Quando
, ambas as exponenciais crescem sem limite, mas como os coeficientes são positivos,
tende a
.