Considere o PVI
: Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é
com as condições iniciais
e
. Para resolver, precisamos achar a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial homogênea:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Calculamos o discriminante (
):
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar
:
Aplicando a segunda condição inicial
:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, temos
. Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Racionalizando:
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:
Use o Teste da Integral para determinar se as séries convergem ou divergem:
.
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
:
Determine a solução de cada um dos seguintes PVIs e identifique o que ocorre quando
: