Considere o PVI : Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. A equação dada é com as condições iniciais e . Para resolver, precisamos achar a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial homogênea:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Calculamos o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:
Então, temos:
çã

Passo 6

Agora, vamos derivar a solução geral para encontrar :
Aplicando a segunda condição inicial :

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, temos . Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Racionalizando:
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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