Sabendo que
é uma solução da equação
use redução de ordem para encontrar uma segunda solução
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais assuntos vamos usar para resolver. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que
é uma solução dessa equação. Vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução independente quando já conhecemos uma solução particular.
Passo 2
O método de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
onde
é uma função que precisamos determinar. Nosso objetivo é encontrar
para obter
.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar
:
Como
, temos
e
. Substituindo na expressão acima:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação resultante para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
. Podemos resolver usando fator integrante ou métodos de integração direta. Ao integrar, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A segunda solução é
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
b) Determine o valor de
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: