Sabendo que y1(x) = x é uma solução da equação
(x^2 - 1) y'' - 2 x y' + 2 y = 0
use redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x).
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Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais assuntos vamos usar para resolver. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que é uma solução dessa equação. Vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução independente quando já conhecemos uma solução particular.

Passo 2

O método de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
onde v(x) é uma função que precisamos determinar. Nosso objetivo é encontrar v(x) para obter .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar :
Como , temos e . Substituindo na expressão acima:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a equação resultante para v(x):
Dividindo ambos os lados por :
Esta é uma equação linear de primeira ordem para . Podemos resolver usando fator integrante ou métodos de integração direta. Ao integrar, obtemos:
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A segunda solução é .

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