Sabendo que é uma solução da equação
use redução de ordem para encontrar uma segunda solução .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais assuntos vamos usar para resolver. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que é uma solução dessa equação. Vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução independente quando já conhecemos uma solução particular.

Passo 2

O método de redução de ordem sugere que a segunda solução pode ser escrita como:
onde é uma função que precisamos determinar. Nosso objetivo é encontrar para obter .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar :
Como , temos e . Substituindo na expressão acima:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a equação resultante para :
Dividindo ambos os lados por :
Esta é uma equação linear de primeira ordem para . Podemos resolver usando fator integrante ou métodos de integração direta. Ao integrar, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A segunda solução é .

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: