Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função paramétrica para entre 0 e . Vamos precisar de conhecimentos sobre funções paramétricas e como transformar essas equações em uma equação cartesiana, que é a forma mais comum de desenhar curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente de representa. A função nos dá a coordenada , e nos dá a coordenada . Isso significa que, para cada valor de , temos um ponto no plano.

Passo 3

Agora, para eliminar o parâmetro e encontrar a equação cartesiana, vamos usar a identidade trigonométrica básica . Mas antes, vamos isolar e nas equações de e :

Passo 4

Substituindo essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse com eixo maior no eixo .

Passo 5

Agora, vamos esboçar a curva. Sabemos que varia de 0 a . Quando , e , então o ponto é (1, 0). Quando , e , então o ponto é (-1, 0). No meio do caminho, por exemplo, quando , temos e , então o ponto é (0, 2).

Passo 6

Com base nesses pontos e sabendo que a curva é uma elipse, vamos desenhar a elipse com os principais pontos: (1, 0), (0, 2), (-1, 0), e (0, -2). Porém, como está entre 0 e , a curva vai de (1, 0) para (-1, 0) passando por (0, 2). Vamos desenhar setas indicando que, conforme aumenta, a curva se move no sentido anti-horário de (1, 0) para (-1, 0).

Resposta

A curva é uma elipse dada pela equação . No intervalo , a curva vai de (1, 0) a (-1, 0), com a movimentação no sentido anti-horário.

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Considere os PVIs abaixo:
I)
II) .
a) Determine valor de para que a solução de se aproxime de zero quando ;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando .