Esboce as curvas planas dadas pelas funções a seguir. Indique com setas o sentido no qual a curva é percorrida quando
aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar equações cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função paramétrica
para
entre 0 e
. Vamos precisar de conhecimentos sobre funções paramétricas e como transformar essas equações em uma equação cartesiana, que é a forma mais comum de desenhar curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente de
representa. A função
nos dá a coordenada
, e
nos dá a coordenada
. Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto
no plano.
Passo 3
Agora, para eliminar o parâmetro
e encontrar a equação cartesiana, vamos usar a identidade trigonométrica básica
. Mas antes, vamos isolar
e
nas equações de
e
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na identidade trigonométrica:
Simplificando:
Essa é a equação de uma elipse com eixo maior no eixo
.
Passo 5
Agora, vamos esboçar a curva. Sabemos que
varia de 0 a
. Quando
,
e
, então o ponto é (1, 0). Quando
,
e
, então o ponto é (-1, 0). No meio do caminho, por exemplo, quando
, temos
e
, então o ponto é (0, 2).
Passo 6
Com base nesses pontos e sabendo que a curva é uma elipse, vamos desenhar a elipse com os principais pontos: (1, 0), (0, 2), (-1, 0), e (0, -2). Porém, como
está entre 0 e
, a curva vai de (1, 0) para (-1, 0) passando por (0, 2). Vamos desenhar setas indicando que, conforme
aumenta, a curva se move no sentido anti-horário de (1, 0) para (-1, 0).
Resposta
A curva é uma elipse dada pela equação
. No intervalo
, a curva vai de (1, 0) a (-1, 0), com a movimentação no sentido anti-horário.
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Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Determine valor de
para que a solução de
se aproxime de zero quando
;
b) Determine o valor de para que a solução de II se aproxime de zero quando
.
I)
II)
a) Determine
b) Determine o valor de