Diferentemente dos problemas de valor inicial (PVI), nos quais são dados
e
, nos problemas de valor de contorno (PVC) são dados
e
, sendo
. Para se resolver um PVC procedemos como no caso de um PVI: após encontrar a solução geral da EDO em termos de constantes arbitrárias
e
, utilizamos as condições dadas para determinar
e
. Considerando a EDO
, reponda:
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos
do plano ty podemos garantir a existência e unicidade de soluções?
b) Se tivermos as condições de contorno
,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
c) Se tivermos as condições de contorno
,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
d) Se tivermos as condições de contorno
,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos
b) Se tivermos as condições de contorno
c) Se tivermos as condições de contorno
d) Se tivermos as condições de contorno
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre Resolver Problemas de Valor de Contorno (PVC) para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau:
. A gente vai precisar lembrar do teorema de existência e unicidade para entender onde as soluções existem e são únicas. Depois, vamos usar as condições dadas nas partes (b) a (d) para achar soluções específicas. Vamos por partes!
Passo 2
a) Teorema de existência e unicidade
O teorema de existência e unicidade para EDOs nos diz que, se a equação for do tipo
e as funções
e
forem contínuas em algum intervalo, então para qualquer par de condições iniciais nesse intervalo, existe uma única solução.
No nosso caso, a EDO é
. Aqui,
e
, que são constantes e, portanto, contínuas em todo o plano
-
. Isso significa que, em qualquer ponto do plano
-
, a solução existe e é única.
Passo 3
b) Condições de contorno
,
Primeiro, vamos resolver a EDO geral:
- Encontrar a solução geral:
A EDO característica associada é
. Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral é:
- Aplicar as condições de contorno:
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Resolvendo para
:
- Solução do PVC:
Substituindo
e
:
Passo 4
c) Condições de contorno
,
- Solução geral:
Como antes:
- Aplicar
:
- Aplicar
:
Isso não nos dá informação sobre
, mas já sabemos que
.
- Solução do PVC:
Como
, qualquer valor de
satisfaz as condições. Porém, para ter uma solução não trivial,
pode ser qualquer constante. Assim, a solução geral é:
Passo 5
d) Condições de contorno
,
- Solução geral:
- Aplicar
:
- Aplicar
:
Queremos que isso seja igual a -1:
O que implica
, mas isso não é verdade, já que
. Isso significa que não existe um
real que satisfaça ambas as condições.
- Solução do PVC:
Não existe solução real para este PVC.
Passo 6
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)?
Não, não contradizem. No item (a), vimos que para qualquer ponto no plano
-
, existe uma solução única. Nos itens (b) e ©, conseguimos encontrar soluções que satisfazem as condições de contorno. No item (d), a falta de solução indica que as condições de contorno escolhidas não são compatíveis com a EDO, mas isso não viola o teorema de existência e unicidade, que garante a unicidade quando uma solução existe, não necessariamente que toda par de condições de contorno seja válida.
Resposta
Conforme resolvido nos itens acima:
a) A existência e unicidade das soluções são garantidas em qualquer ponto do plano
-
.
b) A solução do PVC com
e
é:
c) A solução do PVC com
e
é:
d) Não existe solução real para o PVC com
e
.
e) As respostas dos itens (b)-(d) não contradizem as conclusões do item (a).
Exercícios relacionados
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Para que valores de a solução de
é sempre crescente?
b) Para que valores de a solução de II é sempre positiva?
I)
II)
a) Para que valores de
b) Para que valores de
Verifique que as soluções
e
são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
a)
b)
c) ,
a)
b)
c)
Determine o valor máximo da função
na curva da interseção do plano
com o cilindro
.
Se
, encontre