Diferentemente dos problemas de valor inicial (PVI), nos quais são dados y(t0) e y'(t0), nos problemas de valor de contorno (PVC) são dados y(t1) e y(t2), sendo t1 != t2. Para se resolver um PVC procedemos como no caso de um PVI: após encontrar a solução geral da EDO em termos de constantes arbitrárias C1 e C2, utilizamos as condições dadas para determinar C1 e C2. Considerando a EDO y'' - 2y' + 2y = 0, reponda:
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos (t, y) do plano ty podemos garantir a existência e unicidade de soluções?
b) Se tivermos as condições de contorno y(0) = 1, y(pi / 2) = 1, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
c) Se tivermos as condições de contorno y(0) = 0, y(pi) = 0, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
d) Se tivermos as condições de contorno y(0) = 1, y(pi) = -1, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre Resolver Problemas de Valor de Contorno (PVC) para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do segundo grau: . A gente vai precisar lembrar do teorema de existência e unicidade para entender onde as soluções existem e são únicas. Depois, vamos usar as condições dadas nas partes (b) a (d) para achar soluções específicas. Vamos por partes!

Passo 2

a) Teorema de existência e unicidade

O teorema de existência e unicidade para EDOs nos diz que, se a equação for do tipo e as funções e forem contínuas em algum intervalo, então para qualquer par de condições iniciais nesse intervalo, existe uma única solução.
No nosso caso, a EDO é . Aqui, e , que são constantes e, portanto, contínuas em todo o plano - . Isso significa que, em qualquer ponto do plano - , a solução existe e é única.

Passo 3

b) Condições de contorno ,

Primeiro, vamos resolver a EDO geral:
  1. Encontrar a solução geral:
A EDO característica associada é . Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral é:
  1. Aplicar as condições de contorno:
Primeiro, para :
Agora, para :
Resolvendo para :
  1. Solução do PVC:
Substituindo e :

Passo 4

c) Condições de contorno ,

  1. Solução geral:
Como antes:
  1. Aplicar :
  1. Aplicar :
Isso não nos dá informação sobre , mas já sabemos que .
  1. Solução do PVC:
Como , qualquer valor de satisfaz as condições. Porém, para ter uma solução não trivial, pode ser qualquer constante. Assim, a solução geral é:

Passo 5

d) Condições de contorno ,

  1. Solução geral:
  1. Aplicar :
  1. Aplicar :
Queremos que isso seja igual a -1:
O que implica , mas isso não é verdade, já que . Isso significa que não existe um real que satisfaça ambas as condições.
  1. Solução do PVC:
Não existe solução real para este PVC.

Passo 6

e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)?

Não, não contradizem. No item (a), vimos que para qualquer ponto no plano - , existe uma solução única. Nos itens (b) e ©, conseguimos encontrar soluções que satisfazem as condições de contorno. No item (d), a falta de solução indica que as condições de contorno escolhidas não são compatíveis com a EDO, mas isso não viola o teorema de existência e unicidade, que garante a unicidade quando uma solução existe, não necessariamente que toda par de condições de contorno seja válida.

Resposta

Conforme resolvido nos itens acima:
a) A existência e unicidade das soluções são garantidas em qualquer ponto do plano - .
b) A solução do PVC com e é:
c) A solução do PVC com e é:
d) Não existe solução real para o PVC com e .
e) As respostas dos itens (b)-(d) não contradizem as conclusões do item (a).

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