Determine o valor máximo da função na curva da interseção do plano com o cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor máximo da função na curva onde o plano se encontra com o cilindro . Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dessas duas formas. O cilindro é uma forma circular que se estende ao longo do eixo z. Já o plano é uma superfície plana que corta esse cilindro. A curva dessa interseção será uma espécie de círculo inclinado.

Passo 3

Para facilitar a resolução, podemos parametrizar as coordenadas e usando ângulos. Sabemos que qualquer ponto no cilindro pode ser representado como:
onde é o ângulo em radianos.

Passo 4

Com e expressos em função de , vamos encontrar usando a equação do plano . Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos substituir , e na função :
Agora temos em termos de .

Passo 6

Para encontrar o valor máximo dessa função trigonométrica, usamos a fórmula que diz que a expressão tem seu valor máximo em . No nosso caso, e , então:
á

Resposta

O valor máximo da função é .

Exercícios relacionados

Diferentemente dos problemas de valor inicial (PVI), nos quais são dados e , nos problemas de valor de contorno (PVC) são dados e , sendo . Para se resolver um PVC procedemos como no caso de um PVI: após encontrar a solução geral da EDO em termos de constantes arbitrárias e , utilizamos as condições dadas para determinar e . Considerando a EDO , reponda:
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos do plano ty podemos garantir a existência e unicidade de soluções?
b) Se tivermos as condições de contorno , , qual a solução do PVC associado à EDO dada?
c) Se tivermos as condições de contorno , , qual a solução do PVC associado à EDO dada?
d) Se tivermos as condições de contorno , , qual a solução do PVC associado à EDO dada?
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Para que valores de a solução de é sempre crescente?
b) Para que valores de a solução de II é sempre positiva?
Se , encontre
Seja .
Calcule .