Determine o valor máximo da função
na curva da interseção do plano
com o cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor máximo da função
na curva onde o plano
se encontra com o cilindro
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dessas duas formas. O cilindro
é uma forma circular que se estende ao longo do eixo z. Já o plano
é uma superfície plana que corta esse cilindro. A curva dessa interseção será uma espécie de círculo inclinado.
Passo 3
Para facilitar a resolução, podemos parametrizar as coordenadas
e
usando ângulos. Sabemos que qualquer ponto no cilindro
pode ser representado como:
onde
é o ângulo em radianos.
Passo 4
Com
e
expressos em função de
, vamos encontrar
usando a equação do plano
. Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na função
:
Agora temos
em termos de
.
Passo 6
Para encontrar o valor máximo dessa função trigonométrica, usamos a fórmula que diz que a expressão
tem seu valor máximo em
. No nosso caso,
e
, então:
Resposta
O valor máximo da função é
.
Exercícios relacionados
Diferentemente dos problemas de valor inicial (PVI), nos quais são dados
e
, nos problemas de valor de contorno (PVC) são dados
e
, sendo
. Para se resolver um PVC procedemos como no caso de um PVI: após encontrar a solução geral da EDO em termos de constantes arbitrárias
e
, utilizamos as condições dadas para determinar
e
. Considerando a EDO
, reponda:
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos do plano ty podemos garantir a existência e unicidade de soluções?
b) Se tivermos as condições de contorno ,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
c) Se tivermos as condições de contorno ,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
d) Se tivermos as condições de contorno ,
, qual a solução do PVC associado à EDO dada?
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
a) Utilizando o teorema de existência e unicidade enunciado no exercício 5 , em quais pontos
b) Se tivermos as condições de contorno
c) Se tivermos as condições de contorno
d) Se tivermos as condições de contorno
e) As respostas dos itens (b)-(d) contrariam as conclusões do item (a)? Esclareça.
Considere os PVIs abaixo:
I) ,
II) .
a) Para que valores de a solução de
é sempre crescente?
b) Para que valores de a solução de II é sempre positiva?
I)
II)
a) Para que valores de
b) Para que valores de
Se
, encontre
Seja
.
Calcule .
Calcule