Determine o valor máximo da função f(x, y * z) = x + 2y + 3z na curva da interseção do plano x - y + z = 1 com o cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o valor máximo da função na curva onde o plano se encontra com o cilindro . Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dessas duas formas. O cilindro é uma forma circular que se estende ao longo do eixo z. Já o plano é uma superfície plana que corta esse cilindro. A curva dessa interseção será uma espécie de círculo inclinado.

Passo 3

Para facilitar a resolução, podemos parametrizar as coordenadas e usando ângulos. Sabemos que qualquer ponto no cilindro pode ser representado como:
onde é o ângulo em radianos.

Passo 4

Com e expressos em função de , vamos encontrar usando a equação do plano . Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos substituir , e na função :
Agora temos em termos de .

Passo 6

Para encontrar o valor máximo dessa função trigonométrica, usamos a fórmula que diz que a expressão tem seu valor máximo em . No nosso caso, e , então:
á

Resposta

O valor máximo da função é .

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