Considere a quádrica Omega dada por -2 x^2-5 y^2+9 z^2=2. Faça um esboço do gráfico de Omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de uma superfície quadrática: -2x^2 -5y^2 +9z^2=2. Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa superfície. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre as superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar identificar que tipo de superfície quadrática estamos lidando e entender como ela se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação da superfície. Olha só:
-2x^2 -5y^2 +9z^2 = 2
Para deixar mais padrão, vamos dividir todos os termos por 2:
-2x^22 -5y^22 +9z^22 = 22
Isso simplifica para:
- x^2 - 52 y^2 + 92 z^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação para ficar mais parecido com as formas padrão das superfícies quadráticas. Colocando cada termo separado:
- x^21 - y^225 + z^229 = 1

Passo 4

Olha só as assinaturas dos coeficientes antes das variáveis ao quadrado:
  • x^2 tem um coeficiente negativo.
  • y^2 também tem um coeficiente negativo.
  • z^2 tem um coeficiente positivo.
Quando a equação tem dois termos negativos e um positivo, isso geralmente indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem duas direções que se abrem infinitamente e uma direção central.

Passo 5

Para desenhar o gráfico, é útil saber como a superfície se comporta nos planos coordenados:
  • Plano xy (z=0): Substituindo z=0, a equação fica -x^2 - 52 y^2 =1. Isso não tem solução real, indicando que não há interseção com o plano xy.
  • Plano xz (y=0): Substituindo y=0, temos -x^2 + 92 z^2 =1. Isso representa uma hipérbole.
  • Plano yz (x=0): Substituindo x=0, a equação se torna - 52 y^2 + 92 z^2 =1. Isso também é uma hipérbole.

Resposta

Então, resumindo tudo, a superfície quadrática dada por -2x^2 -5y^2 +9z^2=2 é um hiperboloide de uma folha. Para esboçar o gráfico, imagine uma sela que se estende infinitamente em duas direções, com curvas hiperbólicas nos planos xz e yz, e sem interseção com o plano xy.

Exercícios relacionados