Considere a quádrica
dada por
. Faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de uma superfície quadrática:
. Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa superfície. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre as superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar identificar que tipo de superfície quadrática estamos lidando e entender como ela se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a identificação da superfície. Olha só:
Para deixar mais padrão, vamos dividir todos os termos por 2:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação para ficar mais parecido com as formas padrão das superfícies quadráticas. Colocando cada termo separado:
Passo 4
Olha só as assinaturas dos coeficientes antes das variáveis ao quadrado:
-
tem um coeficiente negativo. -
também tem um coeficiente negativo. -
tem um coeficiente positivo.
Quando a equação tem dois termos negativos e um positivo, isso geralmente indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem duas direções que se abrem infinitamente e uma direção central.
Passo 5
Para desenhar o gráfico, é útil saber como a superfície se comporta nos planos coordenados:
- Plano xy (z=0): Substituindo
, a equação fica . Isso não tem solução real, indicando que não há interseção com o plano xy. - Plano xz (y=0): Substituindo
, temos . Isso representa uma hipérbole. - Plano yz (x=0): Substituindo
, a equação se torna . Isso também é uma hipérbole.
Resposta
Então, resumindo tudo, a superfície quadrática dada por
é um hiperboloide de uma folha. Para esboçar o gráfico, imagine uma sela que se estende infinitamente em duas direções, com curvas hiperbólicas nos planos xz e yz, e sem interseção com o plano xy.