Sejam os pontos e .
(a) Determine o ângulo entre os vetores e A C e a área do triângulo A B C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: , , e . A parte (a) do exercício pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores e e também calcular a área do triângulo .
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores no espaço tridimensional, usar o produto escalar para encontrar o ângulo e o produto vetorial para calcular a área do triângulo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (6-4, 4-2, -6 - (-1)) = (2, 2, -5) e AC = C - A = (-1-4, 3-2, 2 - (-1)) = (-5, 1, 3) . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C.
Para :
Para :
Passo 3
Agora que temos os vetores cos(theta) = AB cdot AC|AB| cdot |AC| e AB cdot AC = (2)(-5) + (2)(1) + (-5)(3) = -10 + 2 -15 = -23 , vamos calcular o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar: