Sejam os pontos e .
(a) Determine o ângulo entre os vetores e e a área do triângulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: , , e . A parte (a) do exercício pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores e e também calcular a área do triângulo .
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores no espaço tridimensional, usar o produto escalar para encontrar o ângulo e o produto vetorial para calcular a área do triângulo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores e . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C.
Para :
Para :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , vamos calcular o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores e .
Para :
Para :
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno desse valor:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área do triângulo . A fórmula para a área de um triângulo formado por dois vetores é:
Á
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Á
Resposta
O ângulo entre os vetores e é de aproximadamente e a área do triângulo é de aproximadamente unidades quadradas.