Sejam os pontos A=(4,2,-1), B=(6,4,-6), C=(-1,3,2) e D=(0,-1,5).
(a) Determine o ângulo entre os vetores A B e A C e a área do triângulo A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: , , e . A parte (a) do exercício pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores e e também calcular a área do triângulo .
Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores no espaço tridimensional, usar o produto escalar para encontrar o ângulo e o produto vetorial para calcular a área do triângulo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (6-4, 4-2, -6 - (-1)) = (2, 2, -5) e AC = C - A = (-1-4, 3-2, 2 - (-1)) = (-5, 1, 3) . Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C.
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos os vetores cos(theta) = AB cdot AC|AB| cdot |AC| e AB cdot AC = (2)(-5) + (2)(1) + (-5)(3) = -10 + 2 -15 = -23 , vamos calcular o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |AB| = raiz2^2 + 2^2 + (-5)^2 = raiz4 + 4 + 25 = raiz33 e |AC| = raiz(-5)^2 + 1^2 + 3^2 = raiz25 + 1 + 9 = raiz35 .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = -23raiz33 cdot raiz35 = -23raiz1155 approx -2333.988 approx -0.677
Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0.677) approx 133,1^circ , tiramos o arco cosseno desse valor:

Passo 6

Agora, vamos calcular a área do triângulo Área = 12 |AB times AC| . A fórmula para a área de um triângulo formado por dois vetores é:
AB times AC = i & j & k 2 & 2 & -5 -5 & 1 & 3 = i(2 cdot 3 - (-5) cdot 1) - j(2 cdot 3 - (-5) cdot (-5)) + k(2 cdot 1 - 2 cdot (-5)) Á
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial = i(6 + 5) - j(6 - 25) + k(2 + 10) = i(11) - j(-19) + k(12) = (11, 19, 12) :
|AB times AC| = raiz11^2 + 19^2 + 12^2 = raiz121 + 361 + 144 = raiz626 approx 25,02
Área = 12 times 25,02 approx 12,51 unidades quadradas
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Á

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de aproximadamente e a área do triângulo é de aproximadamente unidades quadradas.

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