Verifique se: o vetor u pode ser escrito como combinação linear dos vetores v=(-1,1,0) e w=(2,3,1 / 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificarmos se o vetor u pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v=(-1,1,0) e w=(2,3,13). Isso entra na área de Álgebra Linear, especificamente no estudo de combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e ver se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever u como combinação linear de v e w. Queremos encontrar escalares a e b tais que:
u = a,v + b,w
Isso quer dizer que cada componente de u é uma combinação das componentes correspondentes de v e w.

Passo 3

Vamos quebrar essa equação vetorial em equações para cada componente. Supondo que u = (u1, u2, u3), temos:
u1 = a cdot (-1) + b cdot 2 u2 = a cdot 1 + b cdot 3 u3 = a cdot 0 + b cdot dfrac13

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a e b. Observando a terceira equação:
u3 = 0 cdot a + dfrac13 b Rightarrow u3 = dfrac13 b
Podemos isolar b:
b = 3 u3

Passo 5

Com o valor de b em mãos, vamos substituir na segunda equação:
u2 = a + 3 b u2 = a + 3(3 u3) u2 = a + 9 u3
Isolando a:
a = u2 - 9 u3

Passo 6

Agora, substituímos a e b na primeira equação para verificar a consistência:
u1 = -a + 2b u1 = -(u2 - 9 u3) + 2(3 u3) u1 = -u2 + 9 u3 + 6 u3 u1 = -u2 + 15 u3

Passo 7

Essa última equação nos dá uma condição que deve ser satisfeita para que a combinação linear exista. Se essa relação for verdadeira com os componentes de u fornecidos, então os valores de a e b encontrados são válidos e u pode ser expressa como combinação linear de v e w. Caso contrário, não é possível.

Resposta

Portanto, u pode ser escrito como combinação linear dos vetores v e w se e somente se:
u1 = -u2 + 15 u3
Se essa condição for satisfeita pelos componentes de u, então tal combinação linear existe.

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