Verifique se: o vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificarmos se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso entra na área de Álgebra Linear, especificamente no estudo de combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que representa essa combinação e ver se ele tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever como combinação linear de e . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso quer dizer que cada componente de é uma combinação das componentes correspondentes de e .
Passo 3
Vamos quebrar essa equação vetorial em equações para cada componente. Supondo que , temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a e b. Observando a terceira equação:
u3 = 0 cdot a + dfrac13 b Rightarrow u3 = dfrac13 b
Podemos isolar b:
b = 3 u3
Passo 5
Com o valor de b em mãos, vamos substituir na segunda equação:
u2 = a + 3 b u2 = a + 3(3 u3) u2 = a + 9 u3
Isolando a:
a = u2 - 9 u3
Passo 6
Agora, substituímos a e b na primeira equação para verificar a consistência:
Essa última equação nos dá uma condição que deve ser satisfeita para que a combinação linear exista. Se essa relação for verdadeira com os componentes de u fornecidos, então os valores de a e b encontrados são válidos e u pode ser expressa como combinação linear de v e w. Caso contrário, não é possível.
Resposta
Portanto, u pode ser escrito como combinação linear dos vetores v e w se e somente se:
u1 = -u2 + 15 u3
Se essa condição for satisfeita pelos componentes de u, então tal combinação linear existe.