Escreva uma equação para o lugar geométrico dos pontos de cujas somas das distâncias aos pontos e é igual a 6 .

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos encontrar a equação de todos os pontos no espaço tridimensional cuja soma das distâncias aos pontos e é igual a 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies que envolvem somas de distâncias a pontos fixos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar um ponto genérico no espaço como . As distâncias desse ponto aos pontos fixos e podem ser calculadas usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
e

Passo 3

De acordo com o enunciado, a soma dessas duas distâncias é igual a 6:
Substituindo as expressões das distâncias:

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes. Vamos isolar :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:

Passo 6

Simplificando ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Calculando :
Então:

Passo 7

Isolando a raiz novamente:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 12:
Simplificando:

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando o quadrado do lado esquerdo:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 10

Rearranjando a equação:
Simplificando:

Passo 11

Dividindo ambos os lados por 9:
Rearranjando:

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por 9 para simplificar:
Rearranjando para obter a equação final:

Resposta

A equação do lugar geométrico é:

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