Escreva uma equação para o lugar geométrico dos pontos de R^3 cujas somas das distâncias aos pontos (2,0,0) e (-2,0,0) é igual a 6 .

Passo 1

Vamos entender o problema: queremos encontrar a equação de todos os pontos no espaço tridimensional R^3 cuja soma das distâncias aos pontos (2,0,0) e (-2,0,0) é igual a 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies que envolvem somas de distâncias a pontos fixos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar um ponto genérico no espaço como (x, y, z). As distâncias desse ponto aos pontos fixos (2,0,0) e (-2,0,0) podem ser calculadas usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
d1 = raiz(x - 2)^2 + y^2 + z^2
e
d2 = raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2

Passo 3

De acordo com o enunciado, a soma dessas duas distâncias é igual a 6:
d1 + d2 = 6
Substituindo as expressões das distâncias:
raiz(x - 2)^2 + y^2 + z^2 + raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2 = 6

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes. Vamos isolar raiz(x - 2)^2 + y^2 + z^2:
raiz(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 6 - raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = (6 - raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:
(x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 36 - 12,raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2 + (x + 2)^2 + y^2 + z^2

Passo 6

Simplificando ambos os lados:
Subtraindo (x + 2)^2 + y^2 + z^2 de ambos os lados:
(x - 2)^2 - (x + 2)^2 = 36 - 12,raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2
Calculando (x - 2)^2 - (x + 2)^2:
(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 4x + 4) = -8x
Então:
-8x = 36 - 12,raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2

Passo 7

Isolando a raiz novamente:
-8x - 36 = -12,raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2
Multiplicando ambos os lados por -1:
8x + 36 = 12,raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2
Dividindo ambos os lados por 12:
8x + 3612 = raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2
Simplificando:
2x + 93 = raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(2x + 93)^2 = (x + 2)^2 + y^2 + z^2
Calculando o quadrado do lado esquerdo:
(2x + 9)^29 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + z^2

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
(2x + 9)^2 = 9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 + 9z^2
Expandindo o lado esquerdo:
4x^2 + 36x + 81 = 9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 + 9z^2

Passo 10

Rearranjando a equação:
4x^2 + 36x + 81 - 9x^2 - 36x - 36 - 9y^2 - 9z^2 = 0
Simplificando:
-5x^2 + 45 = 9y^2 + 9z^2

Passo 11

Dividindo ambos os lados por 9:
-59x^2 + 5 = y^2 + z^2
Rearranjando:
y^2 + z^2 = 5 - 59x^2

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por 9 para simplificar:
9y^2 + 9z^2 = 45 - 5x^2
Rearranjando para obter a equação final:
5x^2 + 9y^2 + 9z^2 = 45

Resposta

A equação do lugar geométrico é:
5x^2 + 9y^2 + 9z^2 = 45

Exercícios relacionados