Escreva uma equação para o lugar geométrico dos pontos de
cujas somas das distâncias aos pontos
e
é igual a 6 .
Passo 1
Vamos entender o problema: queremos encontrar a equação de todos os pontos no espaço tridimensional
cuja soma das distâncias aos pontos
e
é igual a 6. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies que envolvem somas de distâncias a pontos fixos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar um ponto genérico no espaço como
. As distâncias desse ponto aos pontos fixos
e
podem ser calculadas usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
e
Passo 3
De acordo com o enunciado, a soma dessas duas distâncias é igual a 6:
Substituindo as expressões das distâncias:
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos isolar uma das raízes e elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes. Vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Expandindo o lado direito da equação:
Passo 6
Simplificando ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Isolando a raiz novamente:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 12:
Simplificando:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando o quadrado do lado esquerdo:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por 9 para eliminar o denominador:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 10
Rearranjando a equação:
Simplificando:
Passo 11
Dividindo ambos os lados por 9:
Rearranjando:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por 9 para simplificar:
Rearranjando para obter a equação final:
Resposta
A equação do lugar geométrico é: