Considere a quádrica S: x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0 e o plano pi: x=3.
Determine a interseção de S com pi. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície quadrática S: x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y + 9 = 0 e um plano pi: x = 3. Nosso objetivo é encontrar a interseção entre S e pi. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas e planos. Vamos precisar substituir a equação do plano na equação da superfície quadrática e resolver para encontrar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação do plano pi: x = 3 na equação da superfície S. Isso significa que, onde quer que aparecer x na equação de S, vamos substituir por 3.
Então, temos:
(3)^2 + y^2 + z^2 - 6 cdot 3 + 4y + 9 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
9 + y^2 + z^2 - 18 + 4y + 9 = 0
Simplificando os termos constantes:
y^2 + z^2 + 4y = 0

Passo 4

Para facilitar, vamos completar o quadrado para a variável y. Isso ajuda a identificar melhor a forma da equação resultante.
Começamos com:
y^2 + 4y + z^2 = 0
Completando o quadrado para y:
(y^2 + 4y + 4) + z^2 = 4
(y + 2)^2 + z^2 = 4

Passo 5

A equação (y + 2)^2 + z^2 = 4 representa um círculo no plano onde x = 3, com centro em (-2, 0) e raio 2.
Portanto, a interseção entre a superfície quadrática S e o plano pi é um círculo de raio 2 centrado no ponto (3, -2, 0).

Resposta

A interseção de S com pi é o círculo definido por (y + 2)^2 + z^2 = 4 no plano x = 3.

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