Mostre que o conjunto W=(x, y) in R^2 ; y= 0 é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e precisamos mostrar que ele é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três condições básicas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Como para qualquer vetor em , claramente pertence a .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Sejam e dois vetores em . A soma deles é . Como a segunda coordenada continua sendo zero, também pertence a .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor em por qualquer escalar , o resultado ainda deve estar em . Seja um vetor em e um escalar. Então, . A segunda coordenada continua zero, então também pertence a .

Resposta

Assim, verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados