Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e precisamos mostrar que ele é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem um subespaço vetorial. Precisamos verificar três condições básicas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Como
para qualquer vetor em
, claramente
pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Sejam
e
dois vetores em
. A soma deles é
. Como a segunda coordenada continua sendo zero,
também pertence a
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor em
por qualquer escalar
, o resultado ainda deve estar em
. Seja
um vetor em
e
um escalar. Então,
. A segunda coordenada continua zero, então
também pertence a
.
Resposta
Assim, verificamos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.