Considere a quádrica
e o plano
.
Encontre a equação reduzidda de
e Identifique-a.
Encontre a equação reduzidda de
Passo 1
Beleza, temos uma quadrica
e um plano
. Vamos trabalhar com a matéria de Geometria Analítica, focando em quadricas. Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis
e
para encontrar a equação reduzida da quadrica
e, assim, identificar de que tipo de quadrica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da quadrica para agrupar os termos semelhantes:
Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis
e
.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Tomamos os termos que envolvem
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado, resultando em
. Assim, adicionamos e subtraímos
:
Completando o quadrado para
:
Agora, os termos com
:
Pegamos metade do coeficiente de
, que é
, dividimos por 2, ficando
, e elevamos ao quadrado, resultando em
. Adicionamos e subtraímos
:
Substituindo na equação original:
Agora, substituímos essas expressões completadas na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando
aos dois lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 4
Agora, observamos a equação reduzida:
Essa é a equação de uma esfera. A forma geral da equação de uma esfera é:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Comparando com a nossa equação:
- Centro:
- Raio:
Resposta
A equação reduzida de
é
e
é uma esfera de centro
e raio
.