Considere a quádrica S: x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0 e o plano pi: x=3.
Encontre a equação reduzidda de S e Identifique-a.

Passo 1

Beleza, temos uma quadrica e um plano . Vamos trabalhar com a matéria de Geometria Analítica, focando em quadricas. Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados nas variáveis e para encontrar a equação reduzida da quadrica e, assim, identificar de que tipo de quadrica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da quadrica para agrupar os termos semelhantes:
x^2 - 6x + y^2 + 4y + z^2 + 9 = 0
Agora, vamos completar os quadrados para as variáveis e .

Passo 3

Completando o quadrado para x^2 - 6x :
Tomamos os termos que envolvem x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 :
y^2 + 4y
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 , que é (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + z^2 + 9 = 0 , dividimos por 2, ficando (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 - 4 = 0 , e elevamos ao quadrado, resultando em (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4 . Assim, adicionamos e subtraímos :
Completando o quadrado para :
Agora, os termos com :
Pegamos metade do coeficiente de , que é , dividimos por 2, ficando , e elevamos ao quadrado, resultando em . Adicionamos e subtraímos :
Substituindo na equação original:
Agora, substituímos essas expressões completadas na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando aos dois lados para isolar os termos quadráticos:

Passo 4

Agora, observamos a equação reduzida:
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4
Essa é a equação de uma esfera. A forma geral da equação de uma esfera é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
onde é o centro da esfera e é o raio.
Comparando com a nossa equação:
  • Centro:
  • Raio:

Resposta

A equação reduzida de é e é uma esfera de centro e raio .

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