Seja Mn(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n.
(a) Mostre que o conjunto U=A in Mn(R) ; A=A^t (conjunto das matrizes simétricas) é um subespaço vetorial de Mn(R).
(b) Mostre que o conjunto V=A in Mn(R) ; A=-A^t (conjunto das matrizes anti-simétricas) é um subespaço vetorial de Mn(R).
© Seja B in Mn(r) uma matriz (fixa). Mostre que o conjunto W=A in Mn(R) ; A B=B A (conjunto das matrizes que comutam com a matriz B ) é um subespaço vetorial de Mn(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaços vetoriais de matrizes! A gente vai trabalhar com três conjuntos de matrizes dentro de todas as matrizes quadradas de ordem com entradas reais ( ). A gente precisa mostrar que cada um desses conjuntos é um subespaço vetorial. Pra isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades para cada conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob múltiplos escalares: Se está em e é um número real, então também está em .
Vamos aplicar isso para cada conjunto.

Passo 3

Parte (a): Conjunto A + B = A^t + B^t = (A + B)^t (matrizes simétricas)

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero cA = cA^t = (cA)^t tem todas as entradas iguais a zero e claramente . Então, .
2. Fechado sob adição:
Se e são simétricas, então e . Somando essas matrizes:
Então, também é simétrica, ou seja, .
3. Fechado sob múltiplos escalares:
Se é simétrica ( ) e é um número real, então:
Portanto, também é simétrica, ou seja, .

Passo 4

Parte (b): Conjunto A + B = -A^t - B^t = -(A^t + B^t) = -(A + B)^t (matrizes anti-simétricas)

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero cA = c(-A^t) = -cA^t = -(cA)^t satisfaz porque . Então, .
2. Fechado sob adição:
Se e são anti-simétricas, então e . Somando:
Então, também é anti-simétrica, ou seja, .
3. Fechado sob múltiplos escalares:
Se é anti-simétrica ( ) e é um número real, então:
Portanto, também é anti-simétrica, ou seja, .

Passo 5

Parte ©: Conjunto 0B = 0 = B0 (matrizes que comutam com a matriz fixa (A + C)B = AB + CB = BA + BC = B(A + C) )

1. Contém o vetor zero:
A matriz zero (cA)B = c(AB) = c(BA) = B(cA) comuta com qualquer matriz , já que:
Então, .
2. Fechado sob adição:
Se e estão em , então e . Vamos verificar :
Então, também comuta com , ou seja, .
3. Fechado sob múltiplos escalares:
Se está em e é um número real, então:
Portanto, também comuta com , ou seja, .

Resposta

Além de conter a matriz zero, os conjuntos das matrizes simétricas, das matrizes anti-simétricas e das matrizes que comutam com uma matriz fixa são todos subespaços vetoriais de , já que são fechados sob adição e multiplicação por escalares.

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