Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem
.
(a) Mostre que o conjunto
(conjunto das matrizes simétricas) é um subespaço vetorial de
.
(b) Mostre que o conjunto
(conjunto das matrizes anti-simétricas) é um subespaço vetorial de
.
© Seja
uma matriz (fixa). Mostre que o conjunto
(conjunto das matrizes que comutam com a matriz
) é um subespaço vetorial de
.
(a) Mostre que o conjunto
(b) Mostre que o conjunto
© Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espaços vetoriais de matrizes! A gente vai trabalhar com três conjuntos de matrizes dentro de todas as matrizes quadradas de ordem
com entradas reais (
). A gente precisa mostrar que cada um desses conjuntos é um subespaço vetorial. Pra isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas propriedades para cada conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço vetorial se:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, a matriz zero.
- É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob múltiplos escalares: Se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos aplicar isso para cada conjunto.
Passo 3
Parte (a): Conjunto
(matrizes simétricas)
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero tem todas as entradas iguais a zero e claramente
. Então,
.
A matriz zero
2. Fechado sob adição:
Se e
são simétricas, então
e
. Somando essas matrizes:
Se
Então,
também é simétrica, ou seja,
.
3. Fechado sob múltiplos escalares:
Se é simétrica (
) e
é um número real, então:
Se
Portanto,
também é simétrica, ou seja,
.
Passo 4
Parte (b): Conjunto
(matrizes anti-simétricas)
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero satisfaz
porque
. Então,
.
A matriz zero
2. Fechado sob adição:
Se e
são anti-simétricas, então
e
. Somando:
Se
Então,
também é anti-simétrica, ou seja,
.
3. Fechado sob múltiplos escalares:
Se é anti-simétrica (
) e
é um número real, então:
Se
Portanto,
também é anti-simétrica, ou seja,
.
Passo 5
Parte ©: Conjunto
(matrizes que comutam com a matriz fixa
)
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero comuta com qualquer matriz
, já que:
A matriz zero
Então,
.
2. Fechado sob adição:
Se e
estão em
, então
e
. Vamos verificar
:
Se
Então,
também comuta com
, ou seja,
.
3. Fechado sob múltiplos escalares:
Se está em
e
é um número real, então:
Se
Portanto,
também comuta com
, ou seja,
.
Resposta
Além de conter a matriz zero, os conjuntos
das matrizes simétricas,
das matrizes anti-simétricas e
das matrizes que comutam com uma matriz fixa
são todos subespaços vetoriais de
, já que são fechados sob adição e multiplicação por escalares.