Considere as quádricas abaixo. . Quais as coordenadas dos pontos de interseçāo com os eixos e ? Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da quádrica: . O que precisamos fazer é descobrir onde essa quádrica cruza os eixos , e . Além disso, vamos ver quais curvas aparecem quando cortamos essa quádrica com os planos , , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como substituição de coordenadas e análise de tipos de curvas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos , e .
  • Eixo : No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação:
    Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 3

  • Eixo : No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação:
    Aqui vemos que não há soluções reais para , então a quádrica não intersecta o eixo .

Passo 4

  • Eixo : No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação:
    Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 5

Agora, vamos analisar as curvas formadas nas interseções com os planos.
  • Plano : Aqui, . Substituindo na equação:
    Essa é a equação de uma hiperbola no plano .
  • Plano : Aqui, . Substituindo na equação:
    Essa é a equação de um círculo no plano .
  • Plano : Aqui, . Substituindo na equação:
    Essa é a equação de uma hiperbola no plano .

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece quando cortamos a quádrica com os planos e .
  • Plano : Substituindo na equação:
    Essa é a equação de um círculo com raio no plano .
  • Plano : Substituindo na equação:
    Assim como no caso anterior, essa é a equação de um círculo com raio no plano .

Resposta

Pontos de interseção com os eixos:
  • Eixo : e
  • Eixo : Não há interseção
  • Eixo : e
Curvas nas interseções com os planos:
  • Plano : (hiperbola)
  • Plano : (círculo)
  • Plano : (hiperbola)
  • Plano : (círculo)
  • Plano : (círculo)

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Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ; ;
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com o plano paralelo ao plano .
Considere as seguintes bases do :
.
a) Calcular sabendo que
Considere as quádricas abaixo. . Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.