Considere as quádricas abaixo. x^2+z^2-y^24=1. Quais as coordenadas dos pontos de interseçāo com os eixos x, y e z ? Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos x y, x z, y z, y=2 e y=-2 ? Escreva suas equaçōes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da quádrica: . O que precisamos fazer é descobrir onde essa quádrica cruza os eixos , e . Além disso, vamos ver quais curvas aparecem quando cortamos essa quádrica com os planos , , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como substituição de coordenadas e análise de tipos de curvas resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos x^2 + 0^2 - 0^24 = 1 implies x^2 = 1 implies x = pm 1 , e .
  • Eixo : No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação:
    Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 3

  • Eixo 0^2 + 0^2 - y^24 = 1 implies -y^24 = 1 implies y^2 = -4 : No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação:
    Aqui vemos que não há soluções reais para , então a quádrica não intersecta o eixo .

Passo 4

  • Eixo 0^2 + z^2 - 0^24 = 1 implies z^2 = 1 implies z = pm 1 : No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação:
    Então, os pontos de interseção com o eixo são e .

Passo 5

Agora, vamos analisar as curvas formadas nas interseções com os planos.
  • Plano x^2 + 0^2 - y^24 = 1 implies x^2 - y^24 = 1 : Aqui, x^2 + z^2 - 0^24 = 1 implies x^2 + z^2 = 1 . Substituindo na equação:
    0^2 + z^2 - y^24 = 1 implies z^2 - y^24 = 1
    Essa é a equação de uma hiperbola no plano .
  • Plano : Aqui, . Substituindo na equação:
    Essa é a equação de um círculo no plano .
  • Plano : Aqui, . Substituindo na equação:
    Essa é a equação de uma hiperbola no plano .

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece quando cortamos a quádrica com os planos x^2 + z^2 - (2)^24 = 1 implies x^2 + z^2 - 1 = 1 implies x^2 + z^2 = 2 e x^2 + z^2 - (-2)^24 = 1 implies x^2 + z^2 - 1 = 1 implies x^2 + z^2 = 2 .
  • Plano : Substituindo na equação:
    Essa é a equação de um círculo com raio no plano .
  • Plano : Substituindo na equação:
    Assim como no caso anterior, essa é a equação de um círculo com raio no plano .

Resposta

Pontos de interseção com os eixos:
  • Eixo : e
  • Eixo : Não há interseção
  • Eixo : e
Curvas nas interseções com os planos:
  • Plano : (hiperbola)
  • Plano : (círculo)
  • Plano : (hiperbola)
  • Plano : (círculo)
  • Plano : (círculo)

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