Considere as quádricas abaixo.
. Quais as coordenadas dos pontos de interseçāo com os eixos
e
? Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação da quádrica:
. O que precisamos fazer é descobrir onde essa quádrica cruza os eixos
,
e
. Além disso, vamos ver quais curvas aparecem quando cortamos essa quádrica com os planos
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como substituição de coordenadas e análise de tipos de curvas resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos
,
e
.
-
Eixo
: No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação: Então, os pontos de interseção com o eixosão e .
Passo 3
-
Eixo
: No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação: Aqui vemos que não há soluções reais para, então a quádrica não intersecta o eixo .
Passo 4
-
Eixo
: No eixo , as coordenadas são do tipo . Vamos substituir e na equação: Então, os pontos de interseção com o eixosão e .
Passo 5
Agora, vamos analisar as curvas formadas nas interseções com os planos.
-
Plano
: Aqui, . Substituindo na equação: Essa é a equação de uma hiperbola no plano. -
Plano
: Aqui, . Substituindo na equação: Essa é a equação de um círculo no plano. -
Plano
: Aqui, . Substituindo na equação: Essa é a equação de uma hiperbola no plano.
Passo 6
Agora, vamos ver o que acontece quando cortamos a quádrica com os planos
e
.
-
Plano
: Substituindo na equação: Essa é a equação de um círculo com raiono plano . -
Plano
: Substituindo na equação: Assim como no caso anterior, essa é a equação de um círculo com raiono plano .
Resposta
Pontos de interseção com os eixos:
- Eixo
: e - Eixo
: Não há interseção - Eixo
: e
Curvas nas interseções com os planos:
- Plano
: (hiperbola) - Plano
: (círculo) - Plano
: (hiperbola) - Plano
: (círculo) - Plano
: (círculo)
Exercícios relacionados
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
;
Determine o tipo de cônica resultante da intersecçāo do cone elíptico
com o plano
paralelo ao plano
.
Considere as seguintes bases do
:
.
a) Calcular sabendo que
a) Calcular
Considere as quádricas abaixo.
. Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.