Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ; ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
  • A superfície definida por , que é uma parábola circular.
  • O plano definido por .
Queremos encontrar a projeção da interseção dessas duas superfícies no plano . Para isso, precisamos:
  1. Encontrar a interseção resolvendo as equações de e simultaneamente.
  2. Depois, projetar essa interseção no plano .

Passo 2

Vamos encontrar a interseção . Para isso, igualamos as duas equações:
Esta equação representa a curva onde o paraboloide e o plano se encontram.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a visualização no plano :
Para completar o quadrado em , adicionamos e subtraímos :
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

Passo 4

A projeção dessa interseção no plano é justamente a curva que encontramos: um círculo. Isso porque, ao projetar no plano , ignoramos a coordenada .

Passo 5

Portanto, a projeção de no plano é o círculo definido por:

Resposta

A projeção de no plano é o círculo .

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Determine o tipo de cônica resultante da intersecçāo do cone elíptico
com o plano paralelo ao plano .
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: ; ;
Considere as quádricas abaixo. . Quais as coordenadas dos pontos de interseçāo com os eixos e ? Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.
Considere as seguintes bases do :
.
a) Calcular sabendo que