Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: a projeção de S cap Pi no plano x circ y; S: z=x^2+y^2 ; Pi: z=2 x;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
  • A superfície definida por , que é uma parábola circular.
  • O plano definido por .
Queremos encontrar a projeção da interseção dessas duas superfícies no plano . Para isso, precisamos:
  1. Encontrar a interseção resolvendo as equações de e simultaneamente.
  2. Depois, projetar essa interseção no plano .

Passo 2

Vamos encontrar a interseção x^2 + y^2 = 2x . Para isso, igualamos as duas equações:
Esta equação representa a curva onde o paraboloide e o plano se encontram.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a visualização no plano x^2 - 2x + y^2 = 0 :
(x^2 - 2x + 1) + y^2 - 1 = 0 (x - 1)^2 + y^2 = 1
Para completar o quadrado em , adicionamos e subtraímos :
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

Passo 4

A projeção dessa interseção no plano é justamente a curva que encontramos: um círculo. Isso porque, ao projetar no plano , ignoramos a coordenada .

Passo 5

Portanto, a projeção de (x - 1)^2 + y^2 = 1 no plano é o círculo definido por:

Resposta

A projeção de no plano é o círculo .

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