Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
- A superfície
definida por , que é uma parábola circular. - O plano
definido por .
Queremos encontrar a projeção da interseção dessas duas superfícies no plano
. Para isso, precisamos:
- Encontrar a interseção
resolvendo as equações de e simultaneamente. - Depois, projetar essa interseção no plano
.
Passo 2
Vamos encontrar a interseção
. Para isso, igualamos as duas equações:
Esta equação representa a curva onde o paraboloide
e o plano
se encontram.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a visualização no plano
:
Para completar o quadrado em
, adicionamos e subtraímos
:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
.
Passo 4
A projeção dessa interseção no plano
é justamente a curva que encontramos: um círculo. Isso porque, ao projetar no plano
, ignoramos a coordenada
.
Passo 5
Portanto, a projeção de
no plano
é o círculo definido por:
Resposta
A projeção de
no plano
é o círculo
.