Considere as seguintes bases do
:
.
a) Calcular
sabendo que
a) Calcular
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas bases diferentes para o espaço
:
- Base
- Base
Sabemos que o vetor
tem coordenadas
na base
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor
na base
, ou seja, calcular
.
Para isso, vamos precisar:
- Entender como transformar as coordenadas de uma base para outra.
- Utilizar as matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor
em termos da base canônica (base padrão)
. Sabemos que:
Vamos calcular essa soma:
Então, na base canônica,
.
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor
na base
. Isso significa que queremos encontrar escalares
e
tais que:
Vamos escrever isso como um sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, já temos
.
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
Portanto, as coordenadas do vetor
na base
são: