Considere as seguintes bases do R^2 :
A=(2,-1),(-1,1), B=(1,0),(2,1), C=(1,1),(1,-1), D=(-1,-3),(3,5).
a) Calcular vB sabendo que vA=(4,3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas bases diferentes para o espaço R^2:
  • Base A = (2, -1), (-1, 1)
  • Base B = (1, 0), (2, 1)
Sabemos que o vetor v tem coordenadas vA = (4, 3) na base A. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas desse mesmo vetor v na base B, ou seja, calcular vB.
Para isso, vamos precisar:
  1. Entender como transformar as coordenadas de uma base para outra.
  2. Utilizar as matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor v em termos da base canônica (base padrão) R^2. Sabemos que:
v = 4 cdot (2, -1) + 3 cdot (-1, 1)
Vamos calcular essa soma:
v = (4 times 2 + 3 times (-1), 4 times (-1) + 3 times 1) = (8 - 3, -4 + 3) = (5, -1)
Então, na base canônica, v = (5, -1).

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor v = (5, -1) na base B = (1, 0), (2, 1). Isso significa que queremos encontrar escalares x e y tais que:
v = x cdot (1, 0) + y cdot (2, 1)
Vamos escrever isso como um sistema de equações:
x + 2y = 5 0x + y = -1

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, já temos y = -1.
Substituindo y na primeira equação:
x + 2(-1) = 5 x - 2 = 5 x = 7

Resposta

Portanto, as coordenadas do vetor v na base B são:
vB = (7, -1)

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