Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: S cap Pi; S: 2 x^2+4 y^2+2 z^2=16 ; Pi: z=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície representada pela equação e um plano dado por . Nosso objetivo aqui é encontrar a interseção entre essa superfície e o plano, ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra básica e entender como substituir valores em equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa superfície . A equação representa uma elipsoide, que é uma espécie de esfera alongada ou achatada em algumas direções. Agora, o plano é uma superfície plana onde todas as coordenadas são iguais a 2. Para encontrar a interseção, a gente vai substituir na equação da elipsoide.

Passo 3

Vamos substituir 2x^2 + 4y^2 + 2(2)^2 = 16 na equação de 2x^2 + 4y^2 + 8 = 16 :
2x^2 + 4y^2 = 8
Simplificando x^2 + 2y^2 = 4 :
Agora, subtraímos 8 de ambos os lados para isolar os termos com e :
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Resposta

A interseção é uma elipse definida pela equação no plano .

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