Considere quatro objetos: um anel fino e um disco que giram em torno de seus eixos centrais, e uma casa esférica e uma esfera maciça que giram em torno de seus diâmetros. Se todos os objetos tem a mesma massa
, o mesmo raio
e velocidade angular
, determine (a) o trabalho necessário para parar cada um dos objetos e (b) a potência média que deve ser utilizada para parar o anel em 5,0 s? © Se a mesma potência que foi aplicada ao anel for aplicada aos outros três objetos, em quanto tempo eles estarão em repouso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quatro objetos que estão girando e queremos descobrir quanto trabalho é necessário para pará-los, qual a potência para parar um deles em um certo tempo e quanto tempo levaria para os outros pararem usando a mesma potência. Vamos precisar entender de energia cinética de rotação, momento de inércia, trabalho e potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Cada forma tem seu próprio momento de inércia. As fórmulas são:
- Anel fino:
- Disco:
- Casa esférica (esfera oca):
- Esfera maciça (esfera sólida):
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada objeto usando
e
:
- Anel:
- Disco:
- Casa esférica:
- Esfera maciça:
Passo 4
A energia cinética de rotação é dada por
, onde
é a velocidade angular. Aqui,
.
Vamos calcular a energia para cada objeto:
- Anel:
- Disco:
- Casa esférica:
- Esfera maciça:
Passo 5
O trabalho necessário para parar cada objeto é igual à energia cinética que eles possuem, porque precisamos remover toda essa energia para pará-los.
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos a potência média para parar o anel em 5,0 s. A potência é trabalho dividido pelo tempo:
.
Para o anel,
e
:
Passo 7
Finalmente, na parte ©, queremos saber quanto tempo levaria para os outros objetos pararem usando a mesma potência que aplicamos ao anel, que é cerca de
.
Usamos
para cada objeto:
- Disco:
- Casa esférica:
- Esfera maciça:
Resposta
(a) Os trabalhos necessários para parar cada objeto são aproximadamente:
- Anel: 4,93 J
- Disco: 2,47 J
- Casa esférica: 10,38 J
- Esfera maciça: 1,98 J
(b) A potência média necessária para parar o anel em 5,0 s é cerca de 0,986 W.
© Usando a mesma potência de 0,986 W, os tempos para os objetos pararem são:
- Disco: ~2,5 s
- Casa esférica: ~10,5 s
- Esfera maciça: ~2,0 s