Considere quatro objetos: um anel fino e um disco que giram em torno de seus eixos centrais, e uma casa esférica e uma esfera maciça que giram em torno de seus diâmetros. Se todos os objetos tem a mesma massa M=1,0 kg, o mesmo raio R=0,10 m e velocidade angular 10 pi rad / s, determine (a) o trabalho necessário para parar cada um dos objetos e (b) a potência média que deve ser utilizada para parar o anel em 5,0 s? © Se a mesma potência que foi aplicada ao anel for aplicada aos outros três objetos, em quanto tempo eles estarão em repouso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre quatro objetos que estão girando e queremos descobrir quanto trabalho é necessário para pará-los, qual a potência para parar um deles em um certo tempo e quanto tempo levaria para os outros pararem usando a mesma potência. Vamos precisar entender de energia cinética de rotação, momento de inércia, trabalho e potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Cada forma tem seu próprio momento de inércia. As fórmulas são:
  • Anel fino:
  • Disco:
  • Casa esférica (esfera oca):
  • Esfera maciça (esfera sólida):

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia de cada objeto usando e :
  • Anel:
  • Disco:
  • Casa esférica:
  • Esfera maciça:

Passo 4

A energia cinética de rotação é dada por , onde é a velocidade angular. Aqui, .
Vamos calcular a energia para cada objeto:
  • Anel:
  • Disco:
  • Casa esférica:
  • Esfera maciça:

Passo 5

O trabalho necessário para parar cada objeto é igual à energia cinética que eles possuem, porque precisamos remover toda essa energia para pará-los.

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos a potência média para parar o anel em 5,0 s. A potência é trabalho dividido pelo tempo: .
Para o anel, e :

Passo 7

Finalmente, na parte ©, queremos saber quanto tempo levaria para os outros objetos pararem usando a mesma potência que aplicamos ao anel, que é cerca de .
Usamos para cada objeto:
  • Disco:
  • Casa esférica:
  • Esfera maciça:

Resposta

(a) Os trabalhos necessários para parar cada objeto são aproximadamente:
  • Anel: 4,93 J
  • Disco: 2,47 J
  • Casa esférica: 10,38 J
  • Esfera maciça: 1,98 J
(b) A potência média necessária para parar o anel em 5,0 s é cerca de 0,986 W.
© Usando a mesma potência de 0,986 W, os tempos para os objetos pararem são:
  • Disco: ~2,5 s
  • Casa esférica: ~10,5 s
  • Esfera maciça: ~2,0 s

Exercícios relacionados