Uma esfera maciça e um disco são soltos de um plano inclinado com altura de
. Ambos os objetos tem velocidade inicial nula, o mesmo raio
e a mesma massa
. Considerando que ambos os objetos rolam sem deslizar e não há energia dissipada por eles, determine as velocidades linear e angular de ambos os objetos quando atingirem o ponto mais baixo do plano. Qual objeto desce o plano mais rápido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera e um disco que estão descendo por um plano inclinado a partir de uma altura de
. Ambos têm velocidade inicial zero, mesmo raio
e massa
. Precisamos descobrir as velocidades linear e angular de cada objeto quando chegarem ao final do plano e descobrir qual desce mais rápido.
Vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, e a condição de rolamento sem deslizar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que no topo do plano inclinado, os objetos têm energia potencial gravitacional devido à altura
. Quando descem, essa energia se transforma em energia cinética translacional (movimento para a frente) e energia cinética rotacional (giro).
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Passo 3
Quando os objetos chegam ao final do plano, a energia potencial é convertida em energia cinética:
onde:
-
é a velocidade linear, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Como os objetos rolam sem deslizar, temos a relação:
Isso conecta a velocidade linear com a angular.
Passo 4
Agora, precisamos saber o momento de inércia (
) para cada objeto:
-
Esfera sólida:
-
Disco:
Esses valores são específicos para a distribuição de massa em cada forma geométrica.
Passo 5
Vamos igualar a energia potencial inicial à energia cinética total no final:
Usando
, substituímos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Agora, vamos calcular
para cada objeto usando seus momentos de inércia.
Passo 7
Para a esfera:
Então:
Para o disco:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos os valores numéricos. Vamos converter
, mas como já está na relação, podemos seguir com
e
.
Para a esfera:
Para o disco:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a velocidade angular usando
:
Para a esfera:
Para o disco:
Resposta
No final do plano inclinado, a esfera tem velocidade linear de aproximadamente
e velocidade angular de
. O disco atinge uma velocidade linear de cerca de
e velocidade angular de
. Portanto, a esfera desce o plano mais rápido.