Uma esfera maciça e um disco são soltos de um plano inclinado com altura de h=2,00 m. Ambos os objetos tem velocidade inicial nula, o mesmo raio R=10,0 cm e a mesma massa M=2,00 kg. Considerando que ambos os objetos rolam sem deslizar e não há energia dissipada por eles, determine as velocidades linear e angular de ambos os objetos quando atingirem o ponto mais baixo do plano. Qual objeto desce o plano mais rápido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera e um disco que estão descendo por um plano inclinado a partir de uma altura de . Ambos têm velocidade inicial zero, mesmo raio e massa . Precisamos descobrir as velocidades linear e angular de cada objeto quando chegarem ao final do plano e descobrir qual desce mais rápido.
Vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, e a condição de rolamento sem deslizar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no topo do plano inclinado, os objetos têm energia potencial gravitacional devido à altura Epot = Mgh . Quando descem, essa energia se transforma em energia cinética translacional (movimento para a frente) e energia cinética rotacional (giro).
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.

Passo 3

Quando os objetos chegam ao final do plano, a energia potencial é convertida em energia cinética:
Ecin total = Ecin translacional + Ecin rotacional
Ecin total = 12Mv^2 + 12Iomega^2
onde:
  • v = omega R é a velocidade linear,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular.
Como os objetos rolam sem deslizar, temos a relação:
Isso conecta a velocidade linear com a angular.

Passo 4

Agora, precisamos saber o momento de inércia ( Iesfera = 25MR^2 ) para cada objeto:
  • Esfera sólida:
    Idisco = 12MR^2
  • Disco:
Esses valores são específicos para a distribuição de massa em cada forma geométrica.

Passo 5

Vamos igualar a energia potencial inicial à energia cinética total no final:
Mgh = 12Mv^2 + 12Iomega^2
Usando Mgh = 12Mv^2 + 12I(vR)^2 , substituímos:
Mgh = 12Mv^2 + 12IR^2v^2
Mgh = ( 12M + I2R^2 )v^2

Passo 6

Resolvendo para v^2 = 2MghM + IR^2 :
v = raiz 2gh1 + IMR^2
Agora, vamos calcular para cada objeto usando seus momentos de inércia.

Passo 7

Para a esfera:
IMR^2 = 25
Então:
vesfera = raiz 2gh1 + 25 = raiz 2gh75 = raiz 10gh7
Para o disco:
IMR^2 = 12
Então:
vdisco = raiz 2gh1 + 12 = raiz 2gh32 = raiz 4gh3

Passo 8

Agora, substituímos os valores numéricos. Vamos converter vesfera = raiz 10 times 9,81 times 2,007 , mas como já está na relação, podemos seguir com vesfera = raiz 196,27 e vesfera = raiz28,03 .
Para a esfera:
vesfera approx 5,29 , m/s
vdisco = raiz 4 times 9,81 times 2,003
vdisco = raiz 78,483
vdisco = raiz26,16
Para o disco:
vdisco approx 5,11 , m/s

Passo 9

Agora, vamos encontrar a velocidade angular usando omegaesfera = 5,290,10 = 52,9 , rad/s :
Para a esfera:
omegadisco = 5,110,10 = 51,1 , rad/s
Para o disco:

Resposta

No final do plano inclinado, a esfera tem velocidade linear de aproximadamente e velocidade angular de . O disco atinge uma velocidade linear de cerca de e velocidade angular de . Portanto, a esfera desce o plano mais rápido.

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