Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de . Justifique com argumentos matemáticos.
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! A questão pede para verificar se o conjunto forma uma base do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como , é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , uma base precisa ter exatamente 4 vetores, já que a dimensão desse espaço é 4.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos vetores temos no conjunto fornecido. Temos três vetores:
Como podemos ver, são apenas 3 vetores. Mas para formar uma base de , precisamos de 4 vetores. Isso já indica que o conjunto não pode ser uma base de , porque está faltando um vetor para completar a dimensão necessária.
Passo 4
Mesmo assim, vamos verificar se os três vetores são linearmente independentes, para entender melhor o conjunto. Para isso, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Vamos supor que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Simplificando, temos:
a + 4b + 2c = 0 - a - 3b - c = 0 b + c = 0
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, c = -b.
Substituindo c = -b na segunda equação:
- a - 3b - (-b) = -a - 3b + b = -a - 2b = 0 Rightarrow a = -2b
Substituindo a = -2b e c = -b na primeira equação:
Isso confirma que as equações são satisfeitas para qualquer valor de b. Portanto, existe uma infinidade de soluções não triviais (quando b neq 0), o que significa que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Não, o conjunto (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1)não forma uma base de R^4, pois contém apenas 3 vetores, sendo insuficiente para a dimensão de R^4, e os vetores apresentados são linearmente dependentes.