Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de R^4. Justifique com argumentos matemáticos.
a) (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! A questão pede para verificar se o conjunto (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1) forma uma base do espaço R^4. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como R^4, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de R^4, uma base precisa ter exatamente 4 vetores, já que a dimensão desse espaço é 4.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos vetores temos no conjunto fornecido. Temos três vetores:
  1. (1,0,-1,0)
  2. (4,0,-3,1)
  3. (2,0,-1,1)
Como podemos ver, são apenas 3 vetores. Mas para formar uma base de R^4, precisamos de 4 vetores. Isso já indica que o conjunto não pode ser uma base de R^4, porque está faltando um vetor para completar a dimensão necessária.

Passo 4

Mesmo assim, vamos verificar se os três vetores são linearmente independentes, para entender melhor o conjunto. Para isso, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Vamos supor que:
a(1,0,-1,0) + b(4,0,-3,1) + c(2,0,-1,1) = (0,0,0,0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 4b + 2c = 0 0a + 0b + 0c = 0 - a - 3b - c = 0 0a + b + c = 0
Simplificando, temos:
a + 4b + 2c = 0 - a - 3b - c = 0 b + c = 0
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, c = -b.
Substituindo c = -b na segunda equação:
- a - 3b - (-b) = -a - 3b + b = -a - 2b = 0 Rightarrow a = -2b
Substituindo a = -2b e c = -b na primeira equação:
-2b + 4b + 2(-b) = (-2b + 4b) + (-2b) = 2b - 2b = 0
Isso confirma que as equações são satisfeitas para qualquer valor de b. Portanto, existe uma infinidade de soluções não triviais (quando b neq 0), o que significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Não, o conjunto (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1) não forma uma base de R^4, pois contém apenas 3 vetores, sendo insuficiente para a dimensão de R^4, e os vetores apresentados são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Dada a matriz A=(cccc-1 & 0 & -1 & 11 2 & 1 & 2 & 12 3 & 6 & 3 & 13 4 & 8 & 0 & 14 5 & 9 & 5 & 15), responda:
(a) qual é o ordem de A ?
(b) qual é o elemento a52 ?
© para que valores de i se tem ai j=0 ?
Verifique se a função dada é um produto interno.
c. lang<=rang<=:, R^3 R^3, lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1^2 x2^2+y1^2 y2^2+z1^2 z2^2.
Considere a questão:
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 3: ii) k u=k(x1, y1, raizx1+y1)=(k x1, k y1, raizk(x1+y1)) in S
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 3:
Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular C A.