Verifique se cada um dos seguintes conjuntos forma uma base de R^4. Justifique com argumentos matemáticos.
a) (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você trouxe! A questão pede para verificar se o conjunto (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1) forma uma base do espaço R^4. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como R^4, é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de R^4, uma base precisa ter exatamente 4 vetores, já que a dimensão desse espaço é 4.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos vetores temos no conjunto fornecido. Temos três vetores:
  1. (1,0,-1,0)
  2. (4,0,-3,1)
  3. (2,0,-1,1)
Como podemos ver, são apenas 3 vetores. Mas para formar uma base de R^4, precisamos de 4 vetores. Isso já indica que o conjunto não pode ser uma base de R^4, porque está faltando um vetor para completar a dimensão necessária.

Passo 4

Mesmo assim, vamos verificar se os três vetores são linearmente independentes, para entender melhor o conjunto. Para isso, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Vamos supor que:
a(1,0,-1,0) + b(4,0,-3,1) + c(2,0,-1,1) = (0,0,0,0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 4b + 2c = 0 0a + 0b + 0c = 0 - a - 3b - c = 0 0a + b + c = 0
Simplificando, temos:
a + 4b + 2c = 0 - a - 3b - c = 0 b + c = 0
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, c = -b.
Substituindo c = -b na segunda equação:
- a - 3b - (-b) = -a - 3b + b = -a - 2b = 0 Rightarrow a = -2b
Substituindo a = -2b e c = -b na primeira equação:
-2b + 4b + 2(-b) = (-2b + 4b) + (-2b) = 2b - 2b = 0
Isso confirma que as equações são satisfeitas para qualquer valor de b. Portanto, existe uma infinidade de soluções não triviais (quando b neq 0), o que significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Não, o conjunto (1,0,-1,0),(4,0,-3,1),(2,0,-1,1) não forma uma base de R^4, pois contém apenas 3 vetores, sendo insuficiente para a dimensão de R^4, e os vetores apresentados são linearmente dependentes.

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