Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
c) Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
que contém todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar foram definidas de uma forma especial:
O que precisamos fazer é mostrar que o par
atua como o vetor zero nesse conjunto com essas operações. O vetor zero é aquele que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.
Passo 2
Para provar que
é o vetor zero, precisamos verificar se, para qualquer vetor
em
, a operação de adição
resulta em
.
Definição do vetor zero: Em um espaço vetorial, o vetor zero
tem a propriedade de que, para qualquer vetor
:
Passo 3
Vamos aplicar a definição da adição dada no enunciado para calcular
:
Passo 4
Agora, simplificamos as expressões dentro dos parênteses:
Portanto,
Resposta
Concluímos que, para qualquer vetor
em
, a soma
resulta em
. Assim,
é o vetor zero em
.