Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
c) Mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto que contém todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar foram definidas de uma forma especial:
O que precisamos fazer é mostrar que o par atua como o vetor zero nesse conjunto com essas operações. O vetor zero é aquele que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.

Passo 2

Para provar que é o vetor zero, precisamos verificar se, para qualquer vetor em , a operação de adição resulta em .
Definição do vetor zero: Em um espaço vetorial, o vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor :

Passo 3

Vamos aplicar a definição da adição dada no enunciado para calcular :

Passo 4

Agora, simplificamos as expressões dentro dos parênteses:
Portanto,

Resposta

Concluímos que, para qualquer vetor em , a soma resulta em . Assim, é o vetor zero em .

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(a) Se é uma matriz retangular, tal que é invertível, verifique que a matriz é uma inversa à esquerda de .
Considere em as bases e e a matriz
Calcule .
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
a.
Sejam e . Considere . Determine valor sem calcular a matriz .
Resposta: 144