Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
c) Mostre que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto que contém todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar foram definidas de uma forma especial:
O que precisamos fazer é mostrar que o par atua como o vetor zero nesse conjunto com essas operações. O vetor zero é aquele que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.
Passo 2
Para provar que é o vetor zero, precisamos verificar se, para qualquer vetor em , a operação de adição resulta em .
Definição do vetor zero: Em um espaço vetorial, o vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor :
Passo 3
Vamos aplicar a definição da adição dada no enunciado para calcular :
Passo 4
Agora, simplificamos as expressões dentro dos parênteses:
Portanto,
Resposta
Concluímos que, para qualquer vetor em , a soma resulta em . Assim, é o vetor zero em .