Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(x1, y1) e v=(x2, y2) por
u+v & =(x1+x2+1, y1+y2+1) lambda u & =(lambda x1, lambda y1)
c) Mostre que (-1,-1)=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto u + v & = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) lambda u & = (lambda x1, lambda y1) que contém todos os pares ordenados de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar foram definidas de uma forma especial:
O que precisamos fazer é mostrar que o par atua como o vetor zero nesse conjunto com essas operações. O vetor zero é aquele que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.

Passo 2

Para provar que u + 0 = u é o vetor zero, precisamos verificar se, para qualquer vetor em , a operação de adição resulta em .
Definição do vetor zero: Em um espaço vetorial, o vetor zero tem a propriedade de que, para qualquer vetor :

Passo 3

Vamos aplicar a definição da adição dada no enunciado para calcular u + (-1, -1) = (x1 + (-1) + 1, y1 + (-1) + 1) :

Passo 4

Agora, simplificamos as expressões dentro dos parênteses:
x1 + (-1) + 1 & = x1 - 1 + 1 = x1 y1 + (-1) + 1 & = y1 - 1 + 1 = y1
Portanto,
u + (-1, -1) = (x1, y1) = u

Resposta

Concluímos que, para qualquer vetor em , a soma resulta em . Assim, é o vetor zero em .

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