Considere em R^3 o conjunto S=(1,0,1),(0,1, a),(1,1, b),(1,1,1). Calcule o - único par (a, b) in R^2 que faz com que S não gere R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço tridimensional . O objetivo é descobrir os valores de e que fazem com que esse conjunto não gere todo o espaço . Isso está relacionado com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de geração de um espaço vetorial. Para resolver, vamos verificar quando os vetores de são linearmente dependentes, ou seja, quando algum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores de A = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & a & b & 1 em uma matriz onde cada vetor será uma coluna. Assim, temos:
Para que os vetores não gerem , essa matriz deve ter posto inferior a 3, ou seja, deve haver dependência linear entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz formada pelos primeiros três vetores de A' = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & a & b . Se o determinante for zero, os vetores são dependentes. A matriz é:
det(A') = 1 cdot (1 cdot b - 1 cdot a) - 0 cdot (0 cdot b - 1 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot a - 1 cdot 1)
O determinante de det(A') = (b - a) + 0 - (0 - 1) = b - a + 1 é dado por:
b - a + 1 = 0 Rightarrow b = a - 1
Simplificando:
Para ter dependência linear:

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o quarto vetor lambda1 (1,0,1) + lambda2 (0,1,a) + lambda3 (1,1,a-1) = (1,1,1) também esteja na combinação dos outros vetores quando lambda1 + lambda3 = 1 lambda2 + lambda3 = 1 lambda1 + a lambda2 + (a - 1) lambda3 = 1 . Vamos verificar se existe escalares lambda2 + (1 - lambda1) = 1 Rightarrow lambda2 = lambda1 tais que:
lambda1 + a lambda1 + (a - 1)(1 - lambda1) = 1
Isso nos dá o sistema de equações:
lambda1 (1 + a) + (a - 1)(1 - lambda1) = 1
Substituindo lambda1 (1 + a) + (a - 1) - (a - 1)lambda1 = 1 da primeira equação na segunda:
lambda1 [ (1 + a) - (a - 1) ] + (a - 1) = 1
Agora, substituímos lambda1 [2] + (a - 1) = 1 Rightarrow 2lambda1 = 2 - a e lambda1 = 2 - a2 na terceira equação:
Simplificando:
Distribuindo:
Agrupando termos de :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Já que e , tudo se encaixa bem, indicando que para qualquer , desde que , o vetor está na combinação dos outros vetores.

Resposta

O único par que faz com que não gere é .

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