Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá quatro vetores no espaço e pede para descobrir quais desses vetores são linearmente independentes. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como montar e resolver um sistema de equações para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a única maneira de escrever for , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos vetores fornecidos:
Queremos encontrar se existem coeficientes não todos zero tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: .
Da segunda equação: . Como , então ou .
Da terceira equação: .
Da quarta equação: . Como , então .
Substituindo de volta:
Isso nos mostra que há infinitas soluções para diferentes de zero, o que significa que os vetores não são linearmente independentes.
Resposta
Os quatro vetores não são linearmente independentes.