Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Em R^4, v1=(1,1,0,0), v2=(1,0,1,0), v3=(0,0,1,1), v4=(0,1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá quatro vetores no espaço e pede para descobrir quais desses vetores são linearmente independentes. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao conceito de independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como montar e resolver um sistema de equações para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a única maneira de escrever for , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores fornecidos:
v1 = (1,1,0,0), v2 = (1,0,1,0), v3 = (0,0,1,1), v4 = (0,1,0,1)
Queremos encontrar se existem coeficientes c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 = 0 não todos zero tais que:
c1 + c2 = 0 c1 + c4 = 0 c2 + c3 = 0 c3 + c4 = 0
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Da segunda equação: . Como , então ou .
  3. Da terceira equação: .
  4. Da quarta equação: . Como , então .
Substituindo de volta:
Isso nos mostra que há infinitas soluções para diferentes de zero, o que significa que os vetores não são linearmente independentes.

Resposta

Os quatro vetores não são linearmente independentes.

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