Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Em R^3, v1=(1,1,1), v2=(3,3,3), v3=(0,1,1);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Álgebra Linear que pede para mostrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente. Vamos precisar entender o que significa “dependência linear” e como identificar isso entre os vetores que temos. No caso, os vetores são , e em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação em que alguns dos vetores são “redundantes”.

Passo 3

Olhando os vetores v2 = 3 cdot v1 = 3 cdot (1,1,1) = (3,3,3) e , percebemos que é simplesmente 3 vezes . Matemáticamente, isso fica assim:
Isso mostra que não adiciona nenhuma “direção nova” ao conjunto; ele está na mesma linha que .

Passo 4

Como c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 é uma múltiplo de 3 cdot (1,1,1) + (-1) cdot (3,3,3) + c3 v3 = (0,0,0) , já temos uma relação não trivial (ou seja, que não todas constantes ) que satisfaz:
Por exemplo, se e , temos:
Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes.

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