Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Álgebra Linear que pede para mostrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente. Vamos precisar entender o que significa “dependência linear” e como identificar isso entre os vetores que temos. No caso, os vetores são , e em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação em que alguns dos vetores são “redundantes”.

Passo 3

Olhando os vetores e , percebemos que é simplesmente 3 vezes . Matemáticamente, isso fica assim:
Isso mostra que não adiciona nenhuma “direção nova” ao conjunto; ele está na mesma linha que .

Passo 4

Como é uma múltiplo de , já temos uma relação não trivial (ou seja, que não todas constantes ) que satisfaz:
Por exemplo, se e , temos:
Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Dado o conjunto
Determine uma base de .
(UFSM) (Modificado) Admitindo que o centro do plano complexo coincida com o centro de um relógio analógico, se o ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre o número complexo:
Considere em o conjunto . Calcule o - único par que faz com que não gere .
Identifique, dando o centro e o raio.