Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Álgebra Linear que pede para mostrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente. Vamos precisar entender o que significa “dependência linear” e como identificar isso entre os vetores que temos. No caso, os vetores são
,
e
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação em que alguns dos vetores são “redundantes”.
Passo 3
Olhando os vetores
e
, percebemos que
é simplesmente 3 vezes
. Matemáticamente, isso fica assim:
Isso mostra que
não adiciona nenhuma “direção nova” ao conjunto; ele está na mesma linha que
.
Passo 4
Como
é uma múltiplo de
, já temos uma relação não trivial (ou seja, que não todas constantes
) que satisfaz:
Por exemplo, se
e
, temos:
Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
,
e
são linearmente dependentes.