Considere R^3 munido com o produto interno
lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 x2+2 y1 y2+z1 z2
(a) Use Gram-Schinidt para determinar uma base ortogonal do R^3 a paiter da base beta=(1,0,1),(-1,1,0),(0,0,1) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente tem o espaço R^3 com um produto interno específico. O que a gente precisa fazer é usar o método de Gram-Schmidt para transformar a base dada beta = (1,0,1), (-1,1,0), (0,0,1) em uma base ortogonal. Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno fornecido e aplicar o processo passo a passo para ortogonalizar os vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma sequência de vetores e transformar em uma sequência de vetores ortogonais, mantendo o mesmo espaço gerado. Aqui, a gente começa com o primeiro vetor da base beta, que já será o nosso primeiro vetor ortogonal.
Então, vamos definir:
v1 = (1, 0, 1)

Passo 3

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor da base em relação ao primeiro vetor ortogonal que já temos. Isso significa que vamos remover de (-1,1,0) a parte que está na direção de v1.
A fórmula para isso é:
v2 = u2 - lang<= u2, v1 rang<=lang<= v1, v1 rang<= v1
onde u2 = (-1,1,0).
Vamos calcular os produtos internos com o produto definido no enunciado:
lang<= u2, v1 rang<= = (-1)(1) + 2(1)(0) + (0)(1) = -1
lang<= v1, v1 rang<= = (1)^2 + 2(0)^2 + (1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2
Então:
v2 = (-1,1,0) - (-12) (1,0,1) = (-1,1,0) + (12,0,12) = (-12,1,12)

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o terceiro vetor da base em relação aos dois vetores ortogonais que já temos ( v1 e v2). Isso envolve remover as componentes nas direções de v1 e v2.
A fórmula é:
v3 = u3 - lang<= u3, v1 rang<=lang<= v1, v1 rang<= v1 - lang<= u3, v2 rang<=lang<= v2, v2 rang<= v2
onde u3 = (0,0,1).
Vamos calcular os produtos internos:
Primeiro com v1:
lang<= u3, v1 rang<= = (0)(1) + 2(0)(0) + (1)(1) = 1
lang<= u3, v1 rang<=lang<= v1, v1 rang<= = 12
Agora com v2:
lang<= u3, v2 rang<= = (0)(-12) + 2(0)(1) + (1)(12) = 12
lang<= v2, v2 rang<= = (-12)^2 + 2(1)^2 + (12)^2 = 14 + 2 + 14 = 92
lang<= u3, v2 rang<=lang<= v2, v2 rang<= = 1292 = 19
Agora substituindo na fórmula:
v3 = (0,0,1) - 12(1,0,1) - 19(-12,1,12)
v3 = (0,0,1) - (12,0,12) - (-118,19,118)
v3 = (0 - 12 + 118, 0 - 0 - 19, 1 - 12 - 118) = (-818, -19, 918) = (-49, -19, 12)

Resposta

A base ortogonal obtida através do método de Gram-Schmidt é:
, (1,,0,,1), (-12,,1,,12), (-49,, -19,, 12) ,

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