Considere
munido com o produto interno
(a) Use Gram-Schinidt para determinar uma base ortogonal do
a paiter da base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente tem o espaço
com um produto interno específico. O que a gente precisa fazer é usar o método de Gram-Schmidt para transformar a base dada
em uma base ortogonal. Para isso, vamos precisar entender como funciona o produto interno fornecido e aplicar o processo passo a passo para ortogonalizar os vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma sequência de vetores e transformar em uma sequência de vetores ortogonais, mantendo o mesmo espaço gerado. Aqui, a gente começa com o primeiro vetor da base
, que já será o nosso primeiro vetor ortogonal.
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor da base em relação ao primeiro vetor ortogonal que já temos. Isso significa que vamos remover de
a parte que está na direção de
.
A fórmula para isso é:
onde
.
Vamos calcular os produtos internos com o produto definido no enunciado:
Então:
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar o terceiro vetor da base em relação aos dois vetores ortogonais que já temos (
e
). Isso envolve remover as componentes nas direções de
e
.
A fórmula é:
onde
.
Vamos calcular os produtos internos:
Primeiro com
:
Agora com
:
Agora substituindo na fórmula:
Resposta
A base ortogonal obtida através do método de Gram-Schmidt é: