Sejam T R^2 R^2 um operalur linear. omega1=(1,-2), u2=(3,5) autovetores associados aos autovalores lambda1=2+lambda2=-1. Determene T(5,2)
+(5,2)=a(1,-2)+b(3,5) Rightarrow(a+3 b,-2 a+5 b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear . Dois vetores e são autovetores desse operador, com autovalores e , respectivamente. O que a gente precisa descobrir é o resultado de aplicar no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor (5, 2) = a(1, -2) + b(3, 5) como uma combinação linear dos autovetores a + 3b = 5 -2a + 5b = 2 e . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar a = 5 - 3b e -2(5 - 3b) + 5b = 2 -10 + 6b + 5b = 2 11b = 12 b = 1211 . Da primeira equação, isolamos a = 5 - 3(1211) = 5511 - 3611 = 1911 :
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora que temos T(5, 2) = T(aomega1 + b u2) = aT(omega1) + bT(u2) e T(omega1) = lambda1 omega1 = 2(1, -2) = (2, -4) T(u2) = lambda2 u2 = -1(3, 5) = (-3, -5) , vamos aplicar o operador T(5, 2) = 1911(2, -4) + 1211(-3, -5) = (3811, -7611) + (-3611, -6011) = (38 - 3611, -76 - 6011) = (211, -13611) no vetor . Como é linear, podemos distribuir na combinação linear:
Como e são autovetores, sabemos que:
Substituindo:

Resposta

O resultado de é .

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