Sejam
um operalur linear.
autovetores associados aos autovalores
. Determene
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
. Dois vetores
e
são autovetores desse operador, com autovalores
e
, respectivamente. O que a gente precisa descobrir é o resultado de aplicar
no vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos autovetores
e
. Isso significa que queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Da primeira equação, isolamos
:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos aplicar o operador
no vetor
. Como
é linear, podemos distribuir
na combinação linear:
Como
e
são autovetores, sabemos que:
Substituindo:
Resposta
O resultado de
é
.