Vamos resumir o enunciado: temos dois subespaços de , chamados e , definidos por certas equações. Nosso objetivo é encontrar um subespaço de que, ao combinar e , resulte em todo o espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, especialmente a soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço . Ele é definido pelas equações:
Como , substituímos na primeira equação:
Portanto, é o conjunto de vetores da forma , onde é um número real. Isso significa que é gerado pelo vetor , ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar o subespaço , definido por:
Isso significa que é o conjunto de vetores , onde e são números reais. Podemos expressar como:
Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 4
Queremos encontrar o subespaço que é a soma de e , denotado por:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Matematicamente:
onde e .
Substituindo as expressões de e :
Passo 5
Para verificar se , precisamos mostrar que qualquer vetor pode ser escrito na forma . Isso leva ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Como encontramos soluções para , e para quaisquer , e , isso significa que qualquer vetor em pode ser obtido através da soma dos subespaços e .
Resposta
Portanto, o subespaço U = R^3 é igual a todo o espaço , ou seja: