Considere os seguintes subespaços de R^3.
Pii=(x, y z) in R^3 mid x+y-z=0 ; x=0 e W2=(x, y z) in R^3 mid x-z=0
Encontre U subespaço do R^3 tal que W1=U=R^3

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos dois subespaços de , chamados e , definidos por certas equações. Nosso objetivo é encontrar um subespaço de que, ao combinar e , resulte em todo o espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, especialmente a soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço x + y - z = 0 e x = 0 . Ele é definido pelas equações:
0 + y - z = 0 implies y = z
Como Pii = span(0, 1, 1) , substituímos na primeira equação:
Portanto, é o conjunto de vetores da forma , onde é um número real. Isso significa que é gerado pelo vetor , ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar o subespaço x - z = 0 implies x = z , definido por:
W2 = span(1, 0, 1), (0, 1, 0)
Isso significa que é o conjunto de vetores , onde e são números reais. Podemos expressar como:
Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 4

Queremos encontrar o subespaço U = Pii + W2 que é a soma de u = p + w e u = (0, y, y) + (x, y', x) = (x, y + y', y + x) , denotado por:
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Matematicamente:
onde e .
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Para verificar se x = a y + y' = b y + x = c , precisamos mostrar que qualquer vetor pode ser escrito na forma . Isso leva ao seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
Como encontramos soluções para , e para quaisquer , e , isso significa que qualquer vetor em pode ser obtido através da soma dos subespaços e .

Resposta

Portanto, o subespaço U = R^3 é igual a todo o espaço , ou seja:

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