Mostre que
é um espaço vetorial com as operações
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
é um espaço vetorial usando as operações de adição
e multiplicação por escalar
definidas da seguinte forma:
Para provar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar se essas operações satisfazem todas as propriedades dos espaços vetoriais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a fechamento da adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores em
e somarmos usando
, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Como
é um número real e
também é um número real, o resultado está em
. Então, a adição está fechada.
Passo 3
Agora, vamos ver se a adição é comutativa, ou seja, se mudar a ordem dos vetores não altera o resultado.
Calculando
:
E
:
Como os resultados são iguais, a adição é comutativa.
Passo 4
Vamos verificar a associatividade da adição, ou seja, se somar três vetores de qualquer ordem dá o mesmo resultado.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como os resultados são iguais, a adição é associativa.
Passo 5
Vamos encontrar o elemento neutro da adição, ou seja, um vetor que, quando somado a qualquer vetor de
, retorna o próprio vetor.
Queremos encontrar
tal que:
Isso implica:
E:
Então, o elemento neutro é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a existência de inversos aditivos. Ou seja, para cada vetor
em
, deve existir um vetor
tal que:
Note que o resultado não é o elemento neutro
, a menos que
, o que não é verdade. Portanto, não existe um inverso aditivo que satisfaça a condição padrão
.
Passo 7
Como já encontramos um problema na existência de inversos aditivos, isso significa que nem todos os axiomas dos espaços vetoriais são satisfeitos. Mesmo assim, para completar, podemos verificar outras propriedades.
Vamos verificar a fechamento da multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer escalar
e vetor
em
:
Como
e
são números reais, o resultado está em
. Portanto, a multiplicação por escalar está fechada.
Passo 8
Embora já tenhamos identificado que nem todos os axiomas são satisfeitos, vamos verificar uma propriedade da multiplicação por escalar. Por exemplo, vamos ver se
.
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Simplificando:
Comparando com o lado esquerdo:
Claramente,
não é igual a
a menos que
, o que não é geral. Portanto, essa propriedade também não é satisfeita.
Resposta
Como nem todos os axiomas dos espaços vetoriais são atendidos, especialmente a existência de inversos aditivos e a propriedade distributiva da multiplicação por escalar, concluímos que
não é um espaço vetorial com as operações
e
definidas.