Identifique a curva no representada pelas equações e escreva na forma paramétrica :

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação . Nosso objetivo é identificar qual curva no plano cartesiano essa equação representa e, em seguida, escrever sua forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar a equação para identificar qual é a curva. Vamos agrupar os termos envolvendo e os termos envolvendo , de forma a facilitar o reconhecimento da forma padrão da equação.

Passo 3

Vamos agrupar os termos de e de :

Passo 4

Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar o processo de completar o quadrado:

Passo 5

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários dentro de cada parêntese.
Para o termo em :
Completando o quadrado:
Lembrando que adicionamos 9, precisamos compensar também do outro lado da equação multiplicando por 9:
Para o termo em :
Completando o quadrado:
Da mesma forma, adicionamos 4, então compensamos multiplicando por 4:
Atualizando a equação original:

Passo 6

Para chegar à forma padrão da equação da elipse, dividimos ambos os lados da equação por 36:

Passo 7

Observamos que essa é a equação de uma elipse, onde:
  • Centro da elipse:
  • Comprimento do eixo maior: , então
  • Comprimento do eixo menor: , então

Passo 8

Para escrever as equações paramétricas da elipse, utilizamos as fórmulas:
Substituindo , , e , temos:

Resposta

As equações paramétricas da elipse são:

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