Identifique a curva no R^2 representada pelas equações e escreva na forma paramétrica ^3 :
9 x^2+4 y^2-54 x-16 y+61=0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a equação . Nosso objetivo é identificar qual curva no plano cartesiano essa equação representa e, em seguida, escrever sua forma paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar a equação para identificar qual é a curva. Vamos agrupar os termos envolvendo e os termos envolvendo , de forma a facilitar o reconhecimento da forma padrão da equação.

Passo 3

Vamos agrupar os termos de 9x^2 - 54x + 4y^2 - 16y = -61 e de :

Passo 4

Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos para facilitar o processo de completar o quadrado:
9(x^2 - 6x) + 4(y^2 - 4y) = -61

Passo 5

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários dentro de cada parêntese.
Para o termo em x^2 - 6x :
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
Completando o quadrado:
9(x - 3)^2 = 9(x^2 - 6x + 9) = 9x^2 - 54x + 81
Lembrando que adicionamos 9, precisamos compensar também do outro lado da equação multiplicando por 9:
y^2 - 4y
Para o termo em y^2 - 4y + 4 = (y - 2)^2 :
4(y - 2)^2 = 4(y^2 - 4y + 4) = 4y^2 - 16y + 16
Completando o quadrado:
9(x - 3)^2 + 4(y - 2)^2 = -61 + 81 + 16
Da mesma forma, adicionamos 4, então compensamos multiplicando por 4:
9(x - 3)^2 + 4(y - 2)^2 = 36
Atualizando a equação original:

Passo 6

Para chegar à forma padrão da equação da elipse, dividimos ambos os lados da equação por 36:
(x - 3)^24 + (y - 2)^29 = 1

Passo 7

Observamos que essa é a equação de uma elipse, onde:
  • Centro da elipse:
  • Comprimento do eixo maior: , então
  • Comprimento do eixo menor: , então

Passo 8

Para escrever as equações paramétricas da elipse, utilizamos as fórmulas:
x = h + b cos t
y = k + a sin t
Substituindo x = 3 + 2 cos t , y = 2 + 3 sin t , e , temos:

Resposta

As equações paramétricas da elipse são:
x = 3 + 2 cos t y = 2 + 3 sin t

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