Considere (R, |x - y|). Mostre que: Q não é fechado

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o conjunto dos números reais, , com a distância padrão entre eles, dada por . A questão quer que demonstremos que o conjunto dos números racionais, , não é fechado nesse espaço. Isso significa que queremos mostrar que existem pontos limites de que não pertencem a mesmo estando em .

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos limites. Ou seja, se toda sequência que converge dentro do conjunto tem seu limite também no conjunto.

Passo 3

Então, para mostrar que não é fechado, vamos encontrar uma sequência de números racionais que converge para um número irracional. Se conseguirmos isso, mostraremos que não contém todos os seus pontos limites, portanto, não é fechado.

Passo 4

Vamos considerar a sequência definida por onde os dígitos continuam a se aproximar de . Essa é uma sequência de números racionais (já que temos uma representação decimal finita ou periódica) que converge para , que é irracional.

Passo 5

Já que não está em , mas é o limite de uma sequência de números racionais que está em , isso mostra que não contém todos os seus limites. Portanto, não é fechado em .

Resposta

Assim, demonstramos que não é um conjunto fechado em , pois existem sequências de racionais que convergem para números irracionais fora de .

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