Considere
. Mostre que:
não é fechado
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o conjunto dos números reais,
, com a distância padrão entre eles, dada por
. A questão quer que demonstremos que o conjunto dos números racionais,
, não é fechado nesse espaço. Isso significa que queremos mostrar que existem pontos limites de
que não pertencem a
mesmo estando em
.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar o que significa um conjunto ser fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos limites. Ou seja, se toda sequência que converge dentro do conjunto tem seu limite também no conjunto.
Passo 3
Então, para mostrar que
não é fechado, vamos encontrar uma sequência de números racionais que converge para um número irracional. Se conseguirmos isso, mostraremos que
não contém todos os seus pontos limites, portanto, não é fechado.
Passo 4
Vamos considerar a sequência
definida por
onde os dígitos continuam a se aproximar de
. Essa é uma sequência de números racionais (já que temos uma representação decimal finita ou periódica) que converge para
, que é irracional.
Passo 5
Já que
não está em
, mas é o limite de uma sequência de números racionais que está em
, isso mostra que
não contém todos os seus limites. Portanto,
não é fechado em
.
Resposta
Assim, demonstramos que
não é um conjunto fechado em
, pois existem sequências de racionais que convergem para números irracionais fora de
.