Sejam f, g: M -> N contínuas no ponto a in M. S e f(a) != g(a), então existe uma bola aberta B de centro a tal que f(B) e g(B) são conjuntos disjuntos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções contínuas, e , definidas de um espaço para outro espaço , e sabemos que em um ponto específico de , os valores dessas funções são diferentes, ou seja, . O objetivo é mostrar que existe uma “bola aberta” centrada em onde as imagens de pelas funções e não se sobrepõem, ou seja, e são conjuntos disjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como ele nos permite controlar o comportamento das funções perto do ponto .

Passo 2

Como , há uma distância positiva entre e . Vamos chamar essa distância de , definida como:
Como , podemos escolher um raio menor que :

Passo 3

Agora, usamos a continuidade das funções e no ponto . A continuidade nos diz que podemos escolher uma bola aberta centrada em tal que, para todos os pontos em , as imagens e estão dentro de de e , respectivamente. Matemáticamente:

Passo 4

Com essas desigualdades, vamos analisar a distância entre e para qualquer em :
Substituindo :
Mas para garantir que e realmente não se sobreponham, precisamos que . Como escolhemos de forma que as imagens não se aproximem demais, isso é satisfeito.

Passo 5

Portanto, a bola aberta encontrada garante que, para todo , os conjuntos e não possuem elementos em comum, ou seja, são disjuntos.

Resposta

Existe uma bola aberta centrada em tal que as imagens e são conjuntos disjuntos.

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