Sejam
contínuas no ponto
.
, então existe uma bola aberta
de centro a tal que
e
são conjuntos disjuntos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas funções contínuas,
e
, definidas de um espaço
para outro espaço
, e sabemos que em um ponto específico
de
, os valores dessas funções são diferentes, ou seja,
. O objetivo é mostrar que existe uma “bola aberta”
centrada em
onde as imagens de
pelas funções
e
não se sobrepõem, ou seja,
e
são conjuntos disjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como ele nos permite controlar o comportamento das funções perto do ponto
.
Passo 2
Como
, há uma distância positiva entre
e
. Vamos chamar essa distância de
, definida como:
Como
, podemos escolher um raio
menor que
:
Passo 3
Agora, usamos a continuidade das funções
e
no ponto
. A continuidade nos diz que podemos escolher uma bola aberta
centrada em
tal que, para todos os pontos
em
, as imagens
e
estão dentro de
de
e
, respectivamente. Matemáticamente:
Passo 4
Com essas desigualdades, vamos analisar a distância entre
e
para qualquer
em
:
Substituindo
:
Mas para garantir que
e
realmente não se sobreponham, precisamos que
. Como escolhemos
de forma que as imagens não se aproximem demais, isso é satisfeito.
Passo 5
Portanto, a bola aberta
encontrada garante que, para todo
, os conjuntos
e
não possuem elementos em comum, ou seja, são disjuntos.
Resposta
Existe uma bola aberta
centrada em
tal que as imagens
e
são conjuntos disjuntos.