Seja M, d um espaço métrico. Se F1, F2, ..., Fn são fechados, então F1 união ... união Fn são fechados.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre espaços métricos, que são basicamente conjuntos com uma maneira de medir distância entre seus pontos. A afirmação diz que se você tem vários conjuntos fechados dentro desse espaço métrico, a união deles também será fechada. Para provar isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto fechado e como as operações de união e complemento funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em termos simples, um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de limite. Outra forma de ver isso é que o complemento de um conjunto fechado (ou seja, tudo que não está no conjunto) é um conjunto aberto.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a união de vários conjuntos fechados também é fechada. Para isso, vamos olhar para o complemento dessa união. Por propriedades dos complementos em conjuntos, o complemento da união de vários conjuntos é igual à interseção dos complementos de cada um desses conjuntos.

Passo 4

Ou seja, se tivermos fechados, então:
Isso significa que o complemento da união é a interseção dos complementos de cada .

Passo 5

Sabemos que cada é fechado, então cada complemento é aberto. Agora, precisamos lembrar que a interseção finita de conjuntos abertos também é aberta. Então, a interseção é um conjunto aberto.

Passo 6

Como o complemento da união é aberto, isso implica que a união original é fechada. Isso porque o complemento de um conjunto aberto é fechado, e vice-versa.

Resposta

Portanto, em um espaço métrico, a união finita de conjuntos fechados é fechada.

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