Seja
um espaço métrico. Se
são fechados, então
são fechados.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre espaços métricos, que são basicamente conjuntos com uma maneira de medir distância entre seus pontos. A afirmação diz que se você tem vários conjuntos fechados dentro desse espaço métrico, a união deles também será fechada. Para provar isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto fechado e como as operações de união e complemento funcionam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em termos simples, um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de limite. Outra forma de ver isso é que o complemento de um conjunto fechado (ou seja, tudo que não está no conjunto) é um conjunto aberto.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a união de vários conjuntos fechados também é fechada. Para isso, vamos olhar para o complemento dessa união. Por propriedades dos complementos em conjuntos, o complemento da união de vários conjuntos é igual à interseção dos complementos de cada um desses conjuntos.
Passo 4
Ou seja, se tivermos
fechados, então:
Isso significa que o complemento da união é a interseção dos complementos de cada
.
Passo 5
Sabemos que cada
é fechado, então cada complemento
é aberto. Agora, precisamos lembrar que a interseção finita de conjuntos abertos também é aberta. Então, a interseção
é um conjunto aberto.
Passo 6
Como o complemento da união
é aberto, isso implica que a união original
é fechada. Isso porque o complemento de um conjunto aberto é fechado, e vice-versa.
Resposta
Portanto, em um espaço métrico, a união finita de conjuntos fechados
é fechada.